Supongo que es integral para dos enteros $x^a = x^b$$a,b$ y $\operatorname{gcd}(a,b) = 1$. ¿Es $x$ un entero?

Question

Este es el paso final en mi prueba para un problema más grande de la tarea - si puedo probar que esta afirmación es cierta, entonces he terminado mi otra prueba - sin embargo, mi mente ha ido en blanco y no puedo solucionarlo. ¿Cualquier punteros?

Supongamos que son integrales para dos enteros positivos $x^a, x^b$$a,b$ y $\operatorname{gcd}(a,b) = 1$. ¿Es $x$ un entero?

Answer 1

Por Teorema de Bezout, existen enteros $s$ y $t$ tal que $as+bt=1$. Sigue que $x^1=(x^a)^s(x^b)^t$. Así $x$ es racional.

Pero si $x$ es racional y no un número entero y $n$ es un número entero positivo, entonces $x^n$ no puede ser un número entero. Esto sigue de Teorema de raíces racionales. Si $c$ es un entero, las soluciones sólo racionales de $x^n-c=0$ son de la forma $k/l$, donde divide a $k$ $c$ y $l$ divide $1$. En particular, debemos tener $l=\pm 1$.

Answer 2

Sugerencia:

$$(a,b)=1\implies \exists\,n,m\in\Bbb Z\;\;s.t.\;\;na+mb=1\implies$$

$$x=x^{na+mb}=(x^a)^n\cdot(x^b)^m=(x^a)^n\cdot(x^a)^m=x^{a(n+m)}\ldots$$