Submonoid: identidad

Question

Hay un error común que aparece en muchos libros en las definiciones y pruebas; ahora mi idea es que tal vez usted puede seguro el día:
Imagínese que usted está teniendo un monoid y un subconjunto de ser cerrado bajo la operación binaria heredado de la monoid. Por otra parte, dejar que contienen un elemento que se ve como un elemento de identidad, cuando actúen en el subconjunto, pero no la identidad de la monoid.

Por ejemplo:
$M:=(\mathcal{M}(2,2; \mathbb{K}),\cdot),\quad N:=(\{\text{all matrices with all but the first entry zero}\},\cdot)$
Entonces:
$N\leq M\text{(as submonoid)}$
Pero:
$\mathbb{1}_N\neq \mathbb{1}_M$

Mi pregunta/idea ahora es: debe ser posible encontrar un isomorfismo en general algunos submonoid que contiene el original de identidad, es decir:

$N\cong N'\leq M\text{ with }\mathbb{1}_{N'}=\mathbb{1}_M$

...puede que prueba esto?

Answer 1

No, no es siempre posible.

Si sabes parcial de permutaciones, hay un fácil contraejemplo: Vamos a $M$ ser generados por $(1,2,3)(4)(5)$ $(4,5)$ y deje $N$ ser generados por $(4,5)$. A continuación, $M$ tiene 5 elementos: $(1)(2)(3)(4)(5)$, $(1,2,3)(4)(5)$, $(1,3,2)(4)(5)$, $(4)(5)$, y $(4,5)$. $M$ contiene sólo dos subgrupos (subsemigroups que pasan a ser grupos pueden tener diferentes identidades y inversos): $N=\{ (4)(5), (4,5) \}$$N'=\{ (1)(2)(3)(4)(5), (1,2,3)(4)(5), (1,3,2)(4)(5) \}$. Claramente $N \not\cong N'$ ya que el primero tiene dos elementos y el segundo tiene tres elementos. También se $N'$ es la única que contiene el $\mathbb{1}_M = (1)(2)(3)(4)(5)$, ya que el $\mathbb{1}_N = (4)(5)$.

Parciales permanentes son bastante fáciles de entender: son bijections (en lugar de la auto-bijections). Los de $M$ son incluso más fáciles de entender, son auto-bijections pero de diferentes conjuntos de ($\{1,2,3,4,5\}$ o $\{4,5\}$). La composición se hace de la manera habitual, el producto de $f$ $g$ se define en el subconjunto más grande para que la composición tiene sentido. $(1,2,3)(4)(5) \cdot (4,5) = (4,5)$ desde $(4,5)$ no sabe qué hacer con $1$, $2$, o $3$.

Producen agradable monoids conocido como inversa monoids y son bastante grupo como una vez que usted entienda idempotents (elementos $\mathbb{1}_N$ para subsemigroups de $M$ que pasan a ser monoids).

Aquí está la representación de la matriz: $$M = \left\langle \left[\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{smallmatrix}\right] \right\rangle, \quad N= \left\langle \left[\begin{smallmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{smallmatrix}\right] \right\rangle$$

A continuación, se enumeran explícitamente: $$M=\left\{ \left[\begin{smallmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right] \right\}$$ $$M=\{(4,5),(4)(5),(1,3,2)(4)(5),(1,2,3)(4)(5),(1)(2)(3)(4)(5)\}$$