Convergencia o divergencia de$\sum _{k=1}^{\infty} \left [ \cos(\frac {1} {k^{2}})-\cos(\frac {1} {(k+1)^{2}}) \right ]$

Question

Estoy trabajando en una pregunta de dos partes. Me pide determinar si dos diferentes series infinitas son divergentes o convergentes. Aquí están los dos de serie infinita:

(a) $\sum _{i=1}^{\infty} \cos(\frac {1} {i^{2}})$

(b) $\sum _{k=1}^{\infty} \left [ \cos(\frac {1} {k^{2}})-\cos(\frac {1} {(k+1)^{2}}) \right ]$

Para la parte (a) he determinado que es divergente por la búsqueda de $\lim_{i \to \infty} cos(\frac {1} {i^{2}})=1$, lo que demuestra que la serie debe ser divergentes. Para la parte (b) me he encontrado con que los dos términos de la serie de enfoque 1 $k \to \infty$. Esto significa que cada término es divergente por su propia cuenta. Esto no me dicen si la serie es convergente o divergente, simplemente me dice que la serie puede ser convergente, porque $\lim_{k \to \infty}a_{k}=0$. Me pregunto ¿qué puedo hacer para obtener una respuesta apropiada.

Answer 1

Para la parte$(b)$ anote la suma parcial$N$ th y observe que se está telescopando, es decir,$$\sum_{k=1}^N\big[(\cos(\frac{1}{k^2}) - \cos\big(\frac{1}{(k+1)^2}\big)\big] = \cos(1) -\cos\big(\frac{1}{(N+1)^2}\big)$ $

Ahora la serie es solo el límite del$N$ de la suma parcial, ya que$N$ va al infinito, y por lo tanto, la suma es$$ \lim_{N\to \infty} \big[\cos(1) -\cos\big(\frac{1}{(N+1)^2}\big)\big] = \cos(1) -\cos(0) = \cos(1) - 1$ $

Answer 2

$\cos(a)-\cos(b)=-2\sin(\dfrac{(a+b)}{2})\sin(\dfrac{(a-b)}{2})$, tal vez lo que necesitas es esto.