Aquí está mi historia, tengo la siguiente función :
$$
g(x)=(1+x)\cdot\exp\left(-\frac{(\log(x+a)+c)^2}{2\sigma^2}\right)1[x\ge y]=f(x)\cdot1[x\ge y]
$$
con $a,c,\sigma$ "bueno" de reales, de modo que $g$ se queda bien definido y se deje $X_t$ ser un movimiento Browniano geométrico.
Aquí la función $g$ no es una función convexa ni una diferencia de dos funciones convexas debido a que el indicador de la función en $x=y$ donde la continuidad es quebrantado.
Un "ilegal" pasar a continuación, es aplicar ciegamente Itô-Tanaka fórmula a $g(X_T)$ y obtener : $$ g(X_T)=g(X_0) +\int_0^T D^-g(X_t)dX_t+ \int_{\mathbb{R}}\Lambda_T(a)\mu(da) $$
Donde $D^-$ es la izquierda derivtive operador y $\mu$ es la "segunda derivada de la medida" (véase, por ejemplo, el teorema 7.1 página 218 en Karatzas y Shreve del libro "el Movimiento Browniano y el Estocástico cálculo").
Siguiendo esta fórmula ciegamente me gustaría conseguir (débilmente) :
$$
D^-g(x)=f'(x)\cdot1[x>y]+f(y)\cdot\delta_y(x)
$$
Ahora recibiendo $\mu$ parece formalmente como:
$$
\mu(dx)=f"(x)\cdot1[x\ge y]dx+f'(y)\cdot\delta_y(dx) +f(y)(\delta_y)'(dx)
$$
Así llegamos a la (probablemente mal pero atractivo) fórmula : $$ \begin{align} g(X_T)&=g(X_0)+\int_0^T \left(f'(X_t)\cdot 1[X_t\ge y]+f(y)\delta_y(X_t)\right) dX_t+\int_y^{\infty}\Lambda_T(x)f''(x)dx \\ &+f'(y)\Lambda_T(y)-f(y)\partial_y\Lambda_T(y) \end{align} $$
Aquí muchos términos que parecen no estar bien definidos, por lo que yo estaba recibiendo una heurística (y muy malo) cálculo sólo para ver a donde se estaba dirigiendo. De todos modos ahora estoy preguntando cuál es el resultado correcto en este caso.
Cuando digo correcto me refiero a que explicite el compensador de la $g(X_t)$ proceso de uso de locales de tiempo, porque, al final, me gustaría aprovechar la expectativa de $g(X_t)$, deshacerse de los locales de martingala partes y obtener la expectativa de $g(X_t)$ en la forma de la expectativa de que el compensador se expresa en la hora local de $X_t$ + $g(X_0)$.
Saludos
PS: aquí la función $f$ fue elegido como parecía lo suficientemente simple para ser Itô diferenciable pero con razonable propiedades, por lo que la expectación posible que existe.