Aquí está mi historia, tengo la siguiente función :
g(x)=(1+x)⋅exp(−(log(x+a)+c)22σ2)1[x≥y]=f(x)⋅1[x≥y]
con a,c,σ "bueno" de reales, de modo que g se queda bien definido y se deje Xt ser un movimiento Browniano geométrico.
Aquí la función g no es una función convexa ni una diferencia de dos funciones convexas debido a que el indicador de la función en x=y donde la continuidad es quebrantado.
Un "ilegal" pasar a continuación, es aplicar ciegamente Itô-Tanaka fórmula a g(XT) y obtener : g(XT)=g(X0)+∫T0D−g(Xt)dXt+∫RΛT(a)μ(da)
Donde D− es la izquierda derivtive operador y μ es la "segunda derivada de la medida" (véase, por ejemplo, el teorema 7.1 página 218 en Karatzas y Shreve del libro "el Movimiento Browniano y el Estocástico cálculo").
Siguiendo esta fórmula ciegamente me gustaría conseguir (débilmente) :
D−g(x)=f′(x)⋅1[x>y]+f(y)⋅δy(x)
Ahora recibiendo μ parece formalmente como:
\mu(dx)=f"(x)\cdot1[x\ge y]dx+f'(y)\cdot\delta_y(dx) +f(y)(\delta_y)'(dx)
Así llegamos a la (probablemente mal pero atractivo) fórmula : \begin{align} g(X_T)&=g(X_0)+\int_0^T \left(f'(X_t)\cdot 1[X_t\ge y]+f(y)\delta_y(X_t)\right) dX_t+\int_y^{\infty}\Lambda_T(x)f''(x)dx \\ &+f'(y)\Lambda_T(y)-f(y)\partial_y\Lambda_T(y) \end{align}
Aquí muchos términos que parecen no estar bien definidos, por lo que yo estaba recibiendo una heurística (y muy malo) cálculo sólo para ver a donde se estaba dirigiendo. De todos modos ahora estoy preguntando cuál es el resultado correcto en este caso.
Cuando digo correcto me refiero a que explicite el compensador de la g(X_t) proceso de uso de locales de tiempo, porque, al final, me gustaría aprovechar la expectativa de g(X_t), deshacerse de los locales de martingala partes y obtener la expectativa de g(X_t) en la forma de la expectativa de que el compensador se expresa en la hora local de X_t + g(X_0).
Saludos
PS: aquí la función f fue elegido como parecía lo suficientemente simple para ser Itô diferenciable pero con razonable propiedades, por lo que la expectación posible que existe.