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Cómo hacer esta extensión heurística de Itô Tanaka ' fórmula s válido

Aquí está mi historia, tengo la siguiente función :
g(x)=(1+x)exp((log(x+a)+c)22σ2)1[xy]=f(x)1[xy]
con a,c,σ "bueno" de reales, de modo que g se queda bien definido y se deje Xt ser un movimiento Browniano geométrico.

Aquí la función g no es una función convexa ni una diferencia de dos funciones convexas debido a que el indicador de la función en x=y donde la continuidad es quebrantado.

Un "ilegal" pasar a continuación, es aplicar ciegamente Itô-Tanaka fórmula a g(XT) y obtener : g(XT)=g(X0)+T0Dg(Xt)dXt+RΛT(a)μ(da)

Donde D es la izquierda derivtive operador y μ es la "segunda derivada de la medida" (véase, por ejemplo, el teorema 7.1 página 218 en Karatzas y Shreve del libro "el Movimiento Browniano y el Estocástico cálculo").

Siguiendo esta fórmula ciegamente me gustaría conseguir (débilmente) :
Dg(x)=f(x)1[x>y]+f(y)δy(x)

Ahora recibiendo μ parece formalmente como:
\mu(dx)=f"(x)\cdot1[x\ge y]dx+f'(y)\cdot\delta_y(dx) +f(y)(\delta_y)'(dx)

Así llegamos a la (probablemente mal pero atractivo) fórmula : \begin{align} g(X_T)&=g(X_0)+\int_0^T \left(f'(X_t)\cdot 1[X_t\ge y]+f(y)\delta_y(X_t)\right) dX_t+\int_y^{\infty}\Lambda_T(x)f''(x)dx \\ &+f'(y)\Lambda_T(y)-f(y)\partial_y\Lambda_T(y) \end{align}

Aquí muchos términos que parecen no estar bien definidos, por lo que yo estaba recibiendo una heurística (y muy malo) cálculo sólo para ver a donde se estaba dirigiendo. De todos modos ahora estoy preguntando cuál es el resultado correcto en este caso.

Cuando digo correcto me refiero a que explicite el compensador de la g(X_t) proceso de uso de locales de tiempo, porque, al final, me gustaría aprovechar la expectativa de g(X_t), deshacerse de los locales de martingala partes y obtener la expectativa de g(X_t) en la forma de la expectativa de que el compensador se expresa en la hora local de X_t + g(X_0).

Saludos

PS: aquí la función f fue elegido como parecía lo suficientemente simple para ser Itô diferenciable pero con razonable propiedades, por lo que la expectación posible que existe.

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user11867 Puntos 21

Deje h=g + f(y)1_{(-\infty,y)}. A continuación, h satisface las condiciones del Problema 6.24 en Karatzas y Shreve, y por lo tanto puede ser escrito como una diferencia de dos funciones convexas. Por tanto, tenemos h(X_T) = h(X_0) + \int_0^T D^-h(X_t)\,dX_t + \int_{\mathbb{R}} \Lambda_T(x)\mu(dx). En este caso, D^-h = 1_{(y,\infty)}f' y \mu(dx) = (1_{(y,\infty)}f")(x)\,dx + f'(y)\delta_y(dx). Por lo tanto, h(X_T) = h(X_0) + \int_0^T f'(X_t)1_{\{X_t>y\}}\,dX_t + \int_y^\infty \Lambda_T(x)f"(x)\,dx + f'(y)\Lambda_T(y). Desde h=g + f(y)1_{(-\infty,y)}, esto le da \begin{multline*} g(X_T) = g(X_0) + f(y) 1_{\{X_0 < y\}} - f(y)1_{\{X_T < y\}}\\ + \int_0^T f'(X_t)1_{\{X_t>y\}}\,dX_t + \int_y^\infty \Lambda_T(x)f''(x)\,dx + f'(y)\Lambda_T(y). \end{multline*}

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