Tratando de demostrar que un grupo no es cíclico

Question

Dados los siguientes grupos de Euler : $$\begin{align*} U_{12} &= \{1,5,7,11\}\\ U_{16} &= \{1,3,5,7,9,11,13,15\} \end{align*}$$

Quiero demostrar que nocíclico. He utilizado el siguiente teorema :

Un grupo de orden $n$ es cíclico si y sólo si tiene un elemento de orden $n$.

Tomemos, por ejemplo,$U_{12}$: (voy a utilizar la notación de $o(x)$ para denotar el orden de los elementos $x\in G$)
$$\begin{align*} o(5)&\colon 5^2=25 \to 25\bmod 12 = 1\to o(5)=2\\ o(7)&\colon 7^2= 49 \to 49\bmod 12 = 1 \to o(7)=2\\ o(11) &\colon 11^2 = 121 \to 121\bmod 12=1 \to o(11)=2 \end{align*} $$

A continuación, utilizando el teorema anterior , este grupo de hecho no es un grupo cíclico.

Pregunta: ¿realmente tengo que comprobar cada elemento en el grupo por su orden ?

Saludos

Answer 1

Algunos accesos directos están disponibles. Por ejemplo, cuando pruebas$3$ en$U_{16}$, encuentras que sus poderes son$3,9,11,1$, por lo que no tienes que probar$9$ o$11$. ¿Ves por qué?

Answer 2

Como mencioné ayer, en respuesta a una pregunta de los suyos: un grupo cíclico tiene a lo más un elemento de orden $2$.

Usted acepta que responder. No leer antes de aceptarla?

En sus dos primeras líneas, se ha demostrado que la $5$ $7$ ambos tienen el fin de $2$$U_{12}$. Por lo tanto, el grupo no puede ser cíclica.

Del mismo modo, desde la $9^2\equiv 1\pmod{16}$ y $15^2\equiv 1\pmod{16}$, $U_{16}$ tiene al menos dos elementos distintos de la orden de $2$, y por lo tanto no puede ser cíclica.

En general, un grupo cíclico de orden $n$ tiene exactamente $\phi(d)$ elementos de orden $d$ para cada divisor $d$$n$.

Answer 3

Bueno realmente el "teorema" es la definición de Grupo cíclico... es un grupo generado por un elemento.

Ahora si te doy un grupo y revisas que todos sino un elemento no es un generador, ¿cómo sabes que no Compruebe no es un generador?

Así que sí, usted debe verificar todos los elementos.

Answer 4

¿Lo de if el conjunto es infinito? Creo que lo mejor es encontrar la forma general de los elementos del conjunto (si es posible) y pick arbitarary elemento, compruebe su afirmación y luego generalizado. Pero en tu caso, ya que los elementos son finitos, tienes que comprobar para todos los elementos del conjunto.