Pregunta sobre la definición de un anillo.

Question

Un anillo$\langle R,+, \cdot\rangle $ es un conjunto$R$ con dos operaciones binarias tales que:

1. $\langle R,+\rangle $ es un grupo abeliano.

2. La multiplicación es asociativa.

3. Las leyes distributivas izquierdas y derechas aguantan.

¿Puede alguien darme un ejemplo donde la ley distributiva de izquierda se mantiene pero la derecha no?

Answer 1

Considere el conjunto de mapas afines de$\mathbb R$ a$\mathbb R$ en adición y composición. Tenemos distribución correcta en cuanto a los mapas afines$ax+b,cx+d,ex+f$ obtenemos$$a(cx+d)+b+e(cx+d)+f=(a+e)(cx+d)+(b+f)$ $ pero no distributividad izquierda como$$a(cx+d+ex+f)+b\neq a(cx+d)+b+a(ex+f)+b$ $ cuando$b\neq 0$. Podemos hacer que sea distributivo de izquierda pero no de distribución justa simplemente invirtiendo el orden de composición.

Answer 2

Considere el conjunto de polinomios con coeficientes enteros, con la adición definida como siempre, pero la multiplicación definida como composición:

ps

Entonces$$(f\times g)(x) = f(g(x))$, pero$(f+g)\times h = f\times h + g\times h$ en general.

Por ejemplo, si$h\times (f+g)\neq h\times f + h\times g$ y$f(x)=x$ entonces$h(x)=x^2$. Por otra parte, $((f+f)\times h)(x) = 2x^2 = (f\times h)(x) + f\times h(x)$.

no estoy seguro de si esto es distributivo a la izquierda o a la derecha, pero si$h\times(f+f)(x) = 4x^2\neq 2x^2=h\times f(x) + h\times f(x)$ es correcto-distributivo, puede crear un anillo distributivo izquierdo$(R,+,\times)$ con$(R,+,\times_{opp})$.