¿Por qué es cierto que si un dominio de factorización único tiene un irreducible entonces tiene infinitos irreducibles? Supongo que tiene algo que ver con que sean primos.
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Lorin Hochstein
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Tenga en cuenta que si $x$ es irreducible, entonces también lo es $ux$ para cualquier unidad $u$ .
Dejemos que $D$ sea un UFD, y que $x$ sea un irreducible en $D$ .
Si un dominio es finito, entonces es un campo, por lo que el hecho de que $D$ contiene un irreducible significa que $D$ es infinito.
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Si $D$ tiene infinitas unidades, entonces los elementos $ux$ con $u$ una unidad forman un conjunto infinito de irreducibles distintos por parejas. (Obsérvese que como $x$ es irreducible, es distinto de cero, por lo que $ux=vx$ implica $u=v$ ).
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Si $D$ sólo tiene un número finito de unidades, entonces puede proceder de acuerdo con la prueba de Euclides: dejemos $x_1,\ldots,x_n$ sea cualquier lista finita de irreducibles. Entonces la colección de todos los elementos de la forma $1+(x_1\cdots x_n)k$ con $k$ en $D$ es infinito. No pueden ser todas unidades (ya que sólo hay un número finito de unidades), por lo que al menos una es una no unidad, y por tanto divisible por algún irreducible. Pero no puede ser divisible por ninguno de los $x_i$ (mismo argumento que el de Euclides), por lo que debe haber algún irreducible que no esté en nuestra lista original.
Estoy bastante seguro de haber visto a Bill Dubuque dar la prueba anterior... ah, sí, ya que es mencionado anteriormente si la cardinalidad del conjunto de unidades es menor que la cardinalidad del anillo, entonces el argumento anterior es válido.
Obsérvese que, en cierto sentido, el caso 1 es un poco tramposo, ya que aunque encontramos "infinitos irreducibles", no garantizamos infinitos pares no asociado irreducibles. Pero como muestra el ejemplo de Paul Garrett, no podemos esperar conseguirlo en general; de hecho, para cada $n\gt 0$ hay UFDs que tienen exactamente $n$ asociar clases de irreducibles: por ejemplo, localizar $\mathbb{Z}$ lejos de $n$ primos.
La afirmación no es del todo cierta tal como está, ni los comentarios son del todo correctos. Es decir, el argumento al estilo de Euclides falla fácilmente: por ejemplo, el anillo R obtenido a partir de los enteros permitiendo denominadores Impares arbitrarios (=localización de $\mathbb Z$ a 2) es un PID (los únicos ideales son generados por potencias de 2), y es un UFD, por lo tanto, pero tiene sólo un elemento irreducible/primo (módulo de unidades), a saber, 2.
¿Cómo falla aquí el argumento de Euclides? Por ejemplo, 2n+1 es un unidad en este anillo, por lo que no tiene divisores no unitarios. Es "grande", pero una unidad, sin embargo.
Editar: y/o quizás entendí mal la intención, es decir, como se comentó, los múltiplos 2/impar son distintos, aunque asociados. La discusión de Bill Dubuque sobre los anillos con menos elementos (véase el enlace anterior) puede abordar la intención de la pregunta?
