Cuestión de medida de Lebesgue

Question

Una pregunta rápida. Que $X \subset \mathbb R$ ser un sistema mensurable de Lebesgue. ¿Es cierto que el conjunto de $2X = {2 x : x \in X}$ $m(2X) = 2\ m(X)$ de la medida? ¿Es fácil demostrar que si por ejemplo si $X$ es un sistema abierto, pero es cierto en general? Gracias

Answer 1

Considere la posibilidad de la $\sigma$-álgebra generada por el open conjuntos, $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. A continuación, considere la posibilidad de $\lambda:\mathcal{B}(\mathbb{R})\to\mathbb{R^*}$$\displaystyle\lambda(E):=\frac{m(2E)}{2}$. Se puede comprobar que esto es una medida de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Por otra parte, puesto que han demostrado que $m(2E)=2m(E)$ para abrir sets,$\lambda(E)=m(E)$$\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Por último, $\lambda^*$ $\sigma$- finito, así que por Carathéodory extensión del teorema de esto se extiende a una única medida en la $\sigma$-álgebra de $\lambda^*$ conjuntos medibles. Pero $m$ $\sigma$- finito y por lo tanto se extiende a la misma medida. I. e. $\frac{m(2E)}{2}=m(E)$ sobre el Lebesgue medibles establece como necesario.

La sustitución de $2$ $n\in\mathbb{R}_{\geq0}$ da un poco más resultado general.

Answer 2

De otros usuarios de pruebas también trabajo, pero les falta una más elegante método de la prueba, tomando ventaja de la correspondencia uno a uno entre las tapas de $X$ y cubre de $2X$.

Lebesgue medida se define como $m(X) = \inf\big\{\sum_n m(I_n)\big\}$ cuando la $I_n$ son intervalos y $X$ está contenida en su unión.

Para cualquier cubierta $\{I_n\}$ de $X$, $\{2I_n\}$ cubre $2X$. La medida de Lebesgue de ser un límite inferior de las longitudes de todas esas portadas de $2X$, $$m(2X)\le\sum_n m(2I_n) = 2\sum_nm({I_n}).$$

Como esto es cierto para todos $\{I_n\}$, $$m(2X)\le\inf\Big\{\sum_n m(I_n)\Big\}=2m(X).$$

Y un argumento similar se demuestra lo contrario.

Answer 3

En general, si$A$ es lineal y$X$ medible, tenemos$m(AX) = |\det A| mX$.

Answer 4

Usted puede utilizar que para cualquier conjunto % medible $X$, tenemos $$ m (X) = \inf\ {\sum_ {n = 1} ^ \infty m(In): X\subset \bigcup{n=1}^\infty I_n} $$ donde el $I_n$ se entiende abiertos intervalos acotados.

Answer 5

Deje $\chi_{E}$ ser la función característica de un Lebesgue medibles set $E$ finito de medida de Lebesgue. Después, usando la notación $\chi_{2E}(2x)=\chi_{E}(x)$. $$ m(2E)=\int_{\mathbb{R}}\chi_{2}(x)\,dx = 2\int_{\mathbb{R}}\chi_{2}(2u)\,du=2\int_{\mathbb{R}}\chi_{E}(u)du=2m(E). $$ El caso de la medida infinita, ya sea para $E$ o $2E$ definitivamente implica la medida infinita de ambos; de lo contrario comenzar con lo finito, usted puede hacer el cambio de variables y a la conclusión de que el otro es finito medida, también, con $m(2E)=2m(E)$.

Es importante recordar que el $L^{1}(\mathbb{R})$ es la culminación de Riemann integrable funciones en virtud de la integral de la norma, y que la integral de Lebesgue es la única extensión continua de la integral de Riemann a $L^{1}(\mathbb{R})$. Así que, por diseño, todos los cambios de las variables de las fórmulas para la integral de Riemann continúe presionando para la integral de Lebesgue. La gente tiende a olvidar cómo las cosas están diseñados.