El artículo de la Wikipedia no es muy claramente escrito. Deje que nosotros obtener el resultado por nosotros mismos. Supongamos que
$$
M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}
=R^2={\underbrace{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}_{I}}^2
=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix}.
$$
A continuación, $A+D+2(\det R) = (a+d)^2$ y
$$
\begin{pmatrix}A+\det R&B\\C&D+\det R\end{pmatrix}
=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.
$$
Por lo tanto, si $A+D+2\delta\neq0$ algunos $\delta\in\{-\sqrt{\det M},\sqrt{\det M}\}$, luego
$$
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
=\frac{1}{\pm\sqrt{A+D+2\delta}}
\begin{pmatrix}A+\delta&B\\C&D+\delta\end{pmatrix}\etiqueta{1}
$$
es una (tal vez complejo) raíz cuadrada de $M$. También, si $A+D+2\delta\neq0$ por tanto $\delta=-\sqrt{\det M}$ $\delta=\sqrt{\det M}$ , entonces todas las raíces cuadradas de los $M$ se dan por $(1)$.
Al $A+D+2\delta=0$ para algunos $\delta\in\{-\sqrt{\det M},\sqrt{\det M}\}$, $M$ puede tener otras raíces cuadradas que no toman la forma de $(1)$. Por ejemplo, como señala Samuel, la matriz identidad tiene una infinidad de raíces cuadradas: aparte de $\pm I$, también hay raíces cuadradas de la forma
$$
\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}
$$
donde $a\in\mathbb{C}$ es arbitrario y $bc=1-a^2$. (Poner $a=0$ $b=c=1$ da la bien conocida; mi favorito es la obtenida por la toma de $a=b=1$$c=0$.)
Ahora, vuelve a tu pregunta. Si $M=R^2$ para algún entero positivo matriz$R$, $\det M=(\det R)^2$ debe ser un cuadrado perfecto.
Además, hemos
$$A+D+2\sqrt{\det M}>A+D-2\sqrt{\det M}> A+D-2\sqrt{AD}=(\sqrt{A}-\sqrt{D})^2 \ge0.$$
Por lo tanto, cada raíz cuadrada positiva de la matriz de $M$, si los hubiere, toma la forma de $(1)$.
De ello se sigue que para cada una de las $\delta\in\{-\sqrt{\det M},\sqrt{\det M}\}$ que produce un número entero de la raíz cuadrada de la matriz de $(1)$, $\sqrt{A+D+2\delta}$ debe ser un número entero que divide $A+\delta,\,B,\,C,\,D+\delta$. Tenga en cuenta que puede que no se dividen $A$ o $D$ (de modo que su afirmación de que divide a todas las entradas de $M$ es falso). Para un contraejemplo, considere la posibilidad de
$$
M=\begin{pmatrix}2&5\\5&17\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&1\\1&4\end{pmatrix}^2,\ \sqrt{\det M}=3.
$$
Tenemos $\sqrt{A+D+2\sqrt{\det M}}=5$ divide $A+3=B=C=5$$D+3=20$, pero no $A=2$ o $D=17$. Este contraejemplo también muestra que la condición de $A>\sqrt{\det M}$ no necesariamente. Por permuting las filas y columnas de $M$, de ello se sigue que la condición de $D>\sqrt{\det M}$ también no es necesariamente cierto.
