¿Es$2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ NO un campo?

Question

Según wikipedia:

Si $R$ es unital anillo conmutativo con un ideal $m$, $k = R/m$ es un campo si y sólo si $m$ es un ideal maximal. En ese caso, $R/m$ se conoce como el residuo de campo. Este hecho puede fallar en no unital anillos. Por ejemplo, $4\mathbb{Z}$ es un ideal maximal en $2\mathbb{Z}$ , pero $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, no es un campo.

Es $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ NO es un campo?! No es isomorfo a $\mathbb{Z_2}$?

Me refiero a que cada elemento de la $2\mathbb{Z}$ es de la forma $2k$ algunos $k \in \mathbb{Z}$. Ahora supongamos que yo defino $\psi: \mathbb{2Z} \to \mathbb{Z}_2$ donde $2k \mapsto \bar{0}$ si $k$ es incluso y $2k \mapsto \bar{1}$ si $k$ es impar.

Este mapa está bien definido, porque sólo tenemos una representación como $2k$ por cada elemento de a $2\mathbb{Z}$. Este mapa es surjective porque, al menos, $0$ se asigna a $\bar{0}$ $2$ se asigna a $\bar{1}$.

Es $\psi$ un homomorphism? Bueno, a mí me suena como debe ser. Debido a que el factor de $2$ está jugando ningún papel en el aquí y sólo la paridad de $k$ es importante para la asignación, por eso creo que es obvio que es un homomorphism. Aunque puede ser verificada directamente por la comprobación de los 4 casos por separado.

Así que, ¿qué es el kernel? No es el kernel igual a $4\mathbb{Z}$? No se que decir $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2$?

Es lógico que estos dos son isomorfos a mí, donde estoy equivocado?

También, es el ideal de la correspondencia teorema mal que no unital anillos???

Answer 1

Tu mapa no es un anillo homomorfismo. Si tomo$a = 2$,$b = 6$, tengo$\psi(2) = \psi(6) = 1$, pero$\psi(12) = 0$. Del mismo modo,$2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$ no es un anillo integral.

Answer 2

Sugerencia $\ 2\Bbb Z/4\Bbb Z\,$ no es un campo desde $\,2^2 = 0.\,$ mapa $\psi$ no es un anillo de hom ya que debe asignar el nilpotent $\,2\,$ a un nilpotent ($= 0$ en campo), pero ha $\,\psi(2)= 1\,$, por definición. Dicho en más detalle $\ 0 = \psi(0) = \psi(2^2)= \psi(2)^2,\, $ $\,\psi(2) = 0,\,$ estar en un campo (o dominio).

Comentario $\ $ Propiedades como nilpotent, idempotente, invertible, etc. los que son puramente "anillo de la teoría de la" siempre son conservados por el anillo homomorphisms. Como en el anterior, generalmente esto implica restricciones en donde estos elementos puede ser asignada al definir el anillo de homs.