Búsqueda de integración de la secuencia de funciones $f_n(x)=\frac{2nx}{1+n^2x^4}$

Question

Si $f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)$ $f_n(x)=\dfrac{2nx}{1+n^2x^4}$, dónde $$\int0^1f(x)dx\quad \text{and} \quad \lim{n \to \infty}\int_0^1f_n(x)\,dx$ $

Para la primera parte:

$$\lim_{n\to \infty}f_n(x)=0$$

Por lo tanto

$$\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^10\,dx=0$$

Luego de la segunda parte:

$$\lim_{n\to \infty}\int_0^1fn(x)\,dx=\lim{n\to \infty}2n\int0^1\frac{x}{1+n^2x^4}\,dx=\lim{n\to \infty}\left(\tan^{-1}(n)-\tan^{-1}(0)\right)=?$$

Parece que va a $\pi/2$ $\tan^{-1}$ es un número entero cuando somos $\pi/4,5\pi/4,9\pi/4,\ldots$

y una distancia de $\pi/4$ $\tan^{-1}(0)$. Entonces obtenemos $\pi/2$. Pero no veo otra manera de mostrar esto o si mis cálculos son correcto. ¿Tiene esto sentido? ¿Hay una mejor manera de mostrar esto?

Answer 1

$$\int\limits_0^1\frac{2nx}{1+n^2x^4}dx=\int\limits_0^1\frac{d(nx^2)}{1+(nx^2)^2}=\left.\arctan nx^2\right|_0^1=\left(\arctan n-\arctan 0\right)=$$

$$=\arctan n\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{\pi}{2}$$

Answer 2

Usar la sustitución $x = y/\sqrt{n}$ para obtener

$$\begin{align} 2 \int_0^1 \frac{nx}{1+n^2 x^4}\,dx &= 2 \int_0^\sqrt{n} \frac{y}{1+y^4}\,dy \ &\to 2 \int_0^\infty \frac{y}{1+y^4}\,dy \ &= \frac{\pi}{2}. \end {Alinee el} $$

(La última integral se encuentra aquí.)