Deje $k$ ser una expresión algebraica campo cerrado. Por qué $\mathbb A^n(k)$ $\mathbb A^n(k)\setminus\{0\}$ ( $n>1$ ) no son homeomórficos con respecto a la topología de Zariski?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Joseph Holsten
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(Esto no es una respuesta, y todo lo que sigue a continuación fue originalmente impulsado por el hecho de que la O. P. no se excluye el caso de $n=1$ en su pregunta cuando le preguntó por primera vez, que él ya ha hecho en una posterior edición.)
Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Entonces la topología de Zariski en $k$ es el finito complemento de la topología, y del mismo modo en $k- \{0\}$. Tenga en cuenta que dos espacios finitos complemento de la topología son homeomórficos iff tienen el espacio de la cardinalidad. En este caso, ambos $k$, $k - \{0\}$ tienen la misma cardinalidad. Así que, de hecho, son homeomórficos en la topología de Zariski. En particular, no estoy seguro de su afirmación es verdadera.
Lo que escribí anteriormente no puede ilustrar la forma en que la debilidad de la topología de Zariski. Para un mejor ejemplo de lo que puede tratar de demostrar que cualquiera de las dos curvas en $\mathbb{C}^2$, donde por una curva me refiero a la puesta a cero de un polinomio irreducible, se homeomórficos en la topología de Zariski.
Lo que es cierto es que aunque $k^n - \{0\}$ no es afín para $n \geq 2$. Pero, esta pregunta se ha hecho en MSE antes. Sólo tienes que buscar. (Adición posterior: tenga en cuenta que a medida que el usuario de abajo ha señalado, esto no implica que $k^n$ $k^n - \{0\}$ no homeomórficos. Mi comentario acerca de no ser afín no se entiende como un argumento para no ser homeomórficos.)
Aquí es un mathoverflow enlace donde Greg Kuperberg intenta responder a la pregunta de $n = 2$ $\mathbb{C}$ (gracias son completamente debido a otro usuario para señalar esto a mí, que no puedo localizar en el momento: http://mathoverflow.net/questions/78771/is-mathbbc2-homeomorphic-to-mathbbc2-0-0-with-the-zariski-topolog).
Finalmente, le pregunté a algunos algebraica de los geómetras en mi institución, y que no parecen ser conscientes de que esto sea una consecuencia.
