Mensurabilidad de por trozos función definida sobre un espacio de producto

Question

Deje que

• $(\Omega,\mathcal A)$ y $(X,\mathcal X)$ espacios medibles
• $g_n:\Omega\times X\to\mathbb R$ $\mathcal A\otimes\mathcal X$ de ser-mensurable $n\in\mathbb N$

Asumir que todos $x\in X$, hay un $N_x\in\mathcal A$ tal que $(gn(\omega,x)){n\in\mathbb N}$ es convergente para todos los $\omega\in\Omega\setminus Nx$. Ahora, que $$g(\omega,x):=\begin{cases}\displaystyle\lim{n\to\infty}g_n(\omega,x)&&\text{, if }\omega\in\Omega\setminus N_x\0&&\text{, otherwise}\end{cases}$$ for $(\omega,x)\in\Omega\times X$. How can we conclude that $g$ is $\mathcal A\otimes\mathcal X$-measurable?

Mi problema con esta tarea es la dependencia de $N_x$ $x$. ¿Cómo tenemos que argumentar?

Answer 1

Esto no es verdad, la forma en que se expresa. Tome $X$ cualquier innumerables espacio con el $\sigma$-álgebra de contable/co-contables subconjuntos, y deje $g_n=1$$X\times X$.

La diagonal $\Delta_X=\left\{(x,x):x\in X\right\}$ no es medible, pero podríamos elegir $N_x=\Omega\setminus \left\{x\right\}$, lo $g$ es la característica de la diagonal, no se puede medir.

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Si por el contrario nos llevará $\Omega\setminus N_x=\left\{\omega:(g_n(\omega,x))_n\text{ converges}\right\}$ (por lo que son no hacer una elección en función de $x$), a continuación, $N_x$ es simplemente la $x$-sección del complemento de $N'=\left\{(\omega,x):(g_n(\omega,x))\text{ converges}\right\}$, que es medible.

Esto se convierte en un caso particular de la siguiente hecho, con $\mathcal{Y}=\Omega\times X$:

• Si $\mathcal{Y}$ es un espacio medible y $f_n$ es una secuencia de real medible funciones en $\mathcal{Y}$, $C=\left\{y:(f_n(y))_n\text{ converges}\right\}$ es medible, y $\lim_n f_n$ es medible en $C$.