Ejercicio sobre grupos simples

Question

Sea $G$ sea un grupo finito, $D=\{(g,g):g\in G\}$ es un subgrupo del producto directo $G\times G$ . Demuestre que $G$ es simple si y sólo si $D$ es un subgrupo maximal de $G\times G$ .

Traté de demostrar por contradicción. Primero asuma que $G$ es simple y supongamos que existe un subgrupo $H$ de $G\times G$ tal que $D<H<G\times G$ . Pero no pude usar la simplicidad de $G$ para obtener una contradicción.

Answer 1

Si $G$ es simple, y $D < M \le G \times G$ , dejemos que $(a,b) \in M \setminus D$ de modo que $a \ne b$ . Entonces $(1, 1) \ne (a,a)^{-1} (a, b) = (1, a^{-1} b) = (1, c) \in M$ .

Conjugando $(1, c)$ por $(g, g)$ vemos que $M$ contiene todos $(1, c^g)$ para $g \in G$ . En $G$ es simple, el subgrupo de $G$ generada por la clase de conjugación $\{c^g : g \in G \}$ (que es un subgrupo normal no trivial de $G$ ) es $G$ . Así $M$ contiene $\{1\} \times G$ y como $M$ contiene $D$ , $M$ también contiene $G \times \{1\}$ de modo que $M = G \times G$ .

Hemos demostrado que si $G$ es simple, entonces $D$ es máxima en $G \times G$ .

Para la inversa, supongamos $N$ es un subgrupo normal no trivial de $G$ .

Entonces $D$ normaliza $N \times \{1\} = \{(n, 1):n\in N\}$ Así que $ND$ es un subgrupo de $G \times G$ conteniendo adecuadamente $D$ .

Si $D$ es máxima en $G \times G$ entonces $ND = G \times G$ . En particular, para cada $g \in G$ se tiene $(1, g^{-1}) \in ND$ de modo que $(1, g^{-1}) = (n, 1) (g^{-1}, g^{-1})$ para algunos $n \in N$ Así que $g = n \in N$ y $N = G$ de modo que $G$ es simple.

Answer 2

Se puede dar una solución alternativa utilizando el siguiente hecho:

Sea $L$ sea un grupo que actúa transitivamente sobre un conjunto $A$ . Sea $a \in A$ . Entonces $L$ actúa primitivamente sobre $A$ si el estabilizador $L_a$ es un subgrupo maximal.

Aquí $L = G \times G$ actúa sobre $A = G$ con $(g, h)$ enviando $x \mapsto g^{-1} x h$ . Claramente $D = L_1$ es el estabilizador de $1$ .

Demostraremos que los sistemas de bloques para la acción de $L$ y $A$ son de la forma $$ \mathfrak{N} = \{ N^{g} : g \in G\}, $$ para $N$ un subgrupo normal de $G$ . Esto implica que $L$ actúa primitivamente sobre $A$ sólo si $G$ es simple.

Supongamos que $N$ es un subgrupo normal de $G$ . Entonces $N$ es un bloque. De hecho, si $$g^{-1} N h \cap N = g^{-1} h N \cap N$$ no es vacío, entonces $g^{-1} N h = g^{-1} h N = N$ como los cosets (izquierdos) de $N$ son una partición de $G$ .

A la inversa, consideremos un sistema de bloques $\mathfrak{N}$ y que $N \in \mathfrak{N}$ sea el bloque que contiene 1. Afirmamos que $N$ es un subgrupo normal de $G$ . Si $g, h \in N$ entonces $h = g^{-1} g h \in g^{-1} N h \cap N$ Así que $g^{-1} N h = N$ y $g^{-1} h = g^{-1} 1 h \in N$ . Esto demuestra que $N$ es un subgrupo de $G$ . Además, si $x \in G$ entonces $x^{-1} N x$ contiene 1, por lo que es igual a $N$ . Así $N$ es normal en $G$ .