Identidades para el número armónico generalizado

Question

He estado buscando identidades que impliquen números armónicos generalizados \begin {equation*}H_n^{(p)}= \sum_ {k=1}^{n} \frac {1}{k^p} \end {equation*} Encontré varias identidades en términos de $H_n^{(1)}$ pero estoy buscando algunas identidades interesantes para $H_n^{(2)}$ . ¿Alguien conoce alguna identidad no trivial para $H_n^{(2)}$ ? He encontrado algunas en la Wikipedia, pero esta lista no es exhaustiva. Gracias por su ayuda.

1. identidades integrales
2. identidades de suma
3. identidades recursivas
4. en términos de otra función

Answer 1

Hay una buena lista y un conjunto de referencias en mundo de las matemáticas . Además, descubrí ésta mientras escribía una tesis sobre la función Zeta de Riemann.

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^{(s)}} {n^s}=\frac{\zeta(s)^2+\zeta(2s)}{2}.$$

Answer 2

Hace tiempo descubrí la identidad de la suma armónica generalizada.

$$ \sum_{r=1}^{n} \dfrac{H_{r} ^{(m)}}{r^m} = \dfrac{1}{2} \left( [H_{n}^{(m)}]^2 + H_{n}^{(2m)} \right) \quad ; \quad m \geq 1 $$

He publicado una prueba aquí .