Aclaración sobre el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Question

Estoy estudiando el libro de Álgebra Lineal de Hoffman y Kunze. Los autores hacen el siguiente comentario en la página 281.

Aunque es de limitada utilidad práctica para los cálculos, es interesante notar que las bacterias Gram-Schmidt proceso también puede ser utilizada para prueba de dependencia lineal.

Tengo dos pregunta sobre este comentario:

1) ¿por Qué debo estudio de las bacterias Gram-Schmidt orthogonalization proceso?

2) hay un ejemplo donde las bacterias Gram-Schmidt orthogonalization proceso se hace más fácil probar que un conjunto de vectores es linealmente dependiente en lugar de utilizar otro método? Nunca he probado que un subconjunto de vectores fue linealmente independiente mediante el uso de las bacterias Gram-Schmidt orthogonalization proceso.

Tal vez yo no entiendo lo que están diciendo.

Answer 1

Las bacterias Gram-Schmidt orthogonalization proceso es una gran cosa para aprender acerca de porque la idea detrás de esto muestra de nuevo y de nuevo. Hay muchos algoritmos prácticos que utilizan lo que es esencialmente una bacteria Gram-Schmidt procedimiento. Por ejemplo, suponga que tiene un conjunto $\{v_1, \dots, v_n\}$ de vectores linealmente independientes (o funciones), y desea aproximado otro vector (o función) $w$ como una combinación lineal de los vectores en su conjunto. Esto puede hacerse mediante la regresión lineal, es decir, proyecto $w$ sobre el espacio generado por el conjunto. Un método alternativo, lo cual es útil cuando usted tiene una gran colección de funciones en su conjunto, se llama "la coincidencia de la búsqueda." Aquí usted proyecto $w$ sobre el espacio generado por los vectores $v_i$ que está más correlacionada con $w$, restar fuera de ese componente, el proyecto lo que queda en el lado más correlacionada vector a partir de su conjunto, restar, etc. Este proceso de proyección-restando, proyectando-restar,... es igual que la de Gram-Schmidt, y es el principio básico detrás de muchos de los algoritmos prácticos para la frecuencia de tiempo de descomposición, en una escala de tiempo (wavelet) descomposición, etc. En otras palabras, hay muchos "de Gram-Schmidt-como" los procedimientos, por lo que haría bien en aprender el original!

Answer 2

Lo principal que he visto usar Gram-Schmidt es solo para garantizar la existencia de una base ortonormal. Esto hace que la base sea muy agradable.

Mire a través del capítulo sobre espacios de productos internos, casi todas las pruebas comienzan con, deje que$\alpha_1, ..., \alpha_n$ sea una base ortonormal. Esto hace que la base sea realmente agradable porque si$(|)$ es tu producto interno. $$ (\ alpha_i | \ alpha_j) = \ delta_ {ij} = \begin{cases} 0 & \text{ if } i \neq j\\ 1 & \text{ if } i = j \end {cases} $$