Suponga que$g:\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^n$ es una contracción y considere$h=\mathcal{id}_{\mathbb{R}^n}+g$. El mapa$h$ es injective. ¿Siempre es surjective?
Mi pregunta tiene la siguiente por origen.
Respuesta
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Sí. Dejar $y \in \mathbb{R}^n$. Queremos encontrar$x \in \mathbb{R}^n$ tal que$y = h(x) = x + g(x)$. Considere la función$f(x) = y - g(x)$, que es una contracción ya que $$ | f (x) - f (z) | = | g (z) - g (x) | $$ y$g$ es una contracción. Entonces$f$ tiene un punto fijo único, es decir, existe un$x$% único que hace que$f(x) =x$, que es equivalente a$y = x + g(x) = h(x)$.
Como$y$ fue arbitrario, deducimos que$h$ es surjective.
