Conciliación de las dos declaraciones

Question

Yo acababa de recoger el Análisis Funcional, así que mi problema puede sonar trivial. Pero agradezco cualquier ayuda.

Estoy teniendo problemas para conciliar las dos declaraciones (que se dice es cierto en mis notas):
deje $B \subset$ X*, el espacio dual de X y definir $B^o$ $B^z$ a ser el conjunto de sus aniquiladores y pre-aniquiladores, respectivamente.

1) $(B^z)^o$ es el débil* cierre de $R:=$ casco convexo de $B$.
2) La norma de cierre de spanB es un subconjunto estricto de $(B^z)^o$.

Me siento en uno de los dos está equivocado, porque 1) parece contradecir 2). He aquí mi razonamiento.
$R$ es un subconjunto de spanB, de ahí que la norma de cierre de $R$ está contenida en la norma de cierre de spanB. Pero el débil* la topología de la figura en la topología débil de X* es decir, el más pequeño de la topología de X** * * * ser continua. Tan débil* cierre de R es débil cerrado, lo que implica también normativa cerrado, como R es convexa. De modo que la norma de cierre de $R$ está en la norma de cierre de spanB, que entra en conflicto con 2) si 1) es verdadera.

Gracias por las aclaraciones.

Answer 1

Las declaraciones son ciertamente contradictorio. Tenga en cuenta que nada impide que se inicie con $B$ un débil* subespacio cerrado de $X^*$. En ese caso, 1) implica que $(B^z)^o=R=B$ 2) falso.

No es difícil ver que 2) es falso en general. Vamos $X=C[0,1]$, $B=\{\text{Lebesgue measure}\}$. Entonces $$ B^z=\{f\in C[0,1]:\ \int_0^1=0\}. $$ No es difícil ver que $(B^z)^o=\mathbb C\,B=\text{span}\,B$; de hecho, si $\mu f=0$ todos los $f$ $B^z$ no es difícil ver que $\mu$ es necesariamente un escalar varios de medida de Lebesgue. Así vemos que para esta $B$ 1) sujeta mientras que 2) es falsa.

Una tal vez más simple ejemplo puede ser obtenido haciendo $X=H$, un espacio de Hilbert. Podemos tomar $B=\{v\}$ para un cierto vector de $v$. Entonces $$ B^z=\{y\H:\ \langle y,v\rangle=0\}=\{v\}^\asesino, $$ $$ (B^)^s=\{z\H:\ \langle z,s\rangle=0\ \text{para todo }y\in \{v\}^\asesino\}=\{v\}^{\asesino\asesino}=\mathbb Cv. $$