Esta respuesta la necesidad de algunas mejoras - voy a mejorar en unos pocos días
Primer aviso, que si en una de estas matrices es de más de 20 números, entonces hay que tener dos números de $a$$b$, de tal manera que $a=2b$. Por lo tanto el número máximo de elementos en el array no es mayor que 20.
A continuación, vamos a decir, que hemos dividido en 4 grupos $A,B,C,D$ ($|A|\geq |B|\geq |C|\geq |D|$). De curso $10\leq |A|\leq 20$. Debido a $B,C,D$ tiene al menos 20 elemnts en total, tenemos $|B|\geq 7$. Vamos a denotar $|A|=n$
Ahora echemos $n-1$ diferencias de $A$ $(a_1<a_2<\cdots < a_n)$: $w_k=a_n-a_k$ ($k= 1,2,..., n-1$). Estas diferencias tienen que ser divididos entre el $B,C$ $D$
Después de encontrar estas diferencias en el $B,C$$D$, entre estas matrices se encuentra al menos una de satisfacer dos condiciones:
- Es tener al menos 6 elementos
- Contiene al menos tres diferencias $w_a< w_b< w_c$
o al menos de una matriz, que contiene 4 diferencias $w_a<w_b<w_c<w_d$
Ahora tenemos dos casos:
- Primer caso (array con al menos 6 elementos y 3 differnces):
Vamos a denotar los elementos de esta matriz, que son diferentes a los de $w_a, w_b, w_c$$e_1<e_2<e_3$.
Para cada $i=1,2,3$ podemos encontrar dos diferencias $w_{\alpha_i}<w_{\beta_i}$ tal que
- $w_{\alpha_i}<w_{\beta_i}<e_i$, o
- $e_i < w_{\alpha_i}<w_{\beta_i}$
Ahora crear diferencias:
$$y_1 = w_c-w_b,\,y2=wc-w_a,\, y_3=w_b-w_a,$$
$$y_{i,1}=|w_{\alpha_i} - e_i|,\, y_{i,2}=|w_{\beta_i} - e_i|$$
- 3 diferencias $y_i$ no puede estar en $A$ ($y_i \in A$)
- Para cada par $y_{i,1},y_{i,2}$ $A$ no puede ser ambos ($|y_{i,2}-y_{i,1}| \in A$)
Así que hay al menos 6 diferencias que se pueden colocar en otros conjuntos - resto de pensar es la misma que para el 16 elementos
- Segundo caso (4 diferencias)
Vamos a crear 6 diferencias:
$$y_1=w_d-w_c,\, y_2=w_d-w_b,\, y_3=w_d-w_a,\\
y_4 = w_c-w_b,\, y_5=w_c-w_a,\, y_6 = w_b-w_a$$
Estos no se pueden bo en $A$, somust ser colocados en los otros dos grupos - resto de pensar es la misma que para el 16 elementos.
