Dividir los primeros números de $40$ en $4$ matrices

Question

He oído acerca de este problema y no sé cómo resolverlo.

Podemos dividir la primera $40$ enteros positivos en $4$ matrices tales que para cada matriz de elegir a cualquier $x, y, z$ (no necesariamente distintos) de la matriz tenemos $x+y \not= z$ ?

Creo que la respuesta es no, pero no sé para demostrarlo. He encontrado una demostración de que no podemos dividir a los primeros 16 números en 3 utilizando matrices de Dirichlet del Principio, pero no podemos aplicar que en este problema.

Solución para $16$ cifras en $3$ matrices

En al menos una matriz (vamos a decir $A$) tenemos a $6$ números, vamos a llamarlos $a_1< a_2 < ... < a_6$. Todas las diferencias de las $a_i-a_1, i>1$ debe ser en los otros 2 matrices . En uno de los otros matrices tendremos 3 diferencias $b_1, b_2, b_3$ (vamos a decir que están en $B$).A continuación, las diferencias de las $b_2-b_1, b_3-b_2, b_3-b_1$ debe estar en la tercera matriz y esto no es posible.

Answer 1

Esta respuesta la necesidad de algunas mejoras - voy a mejorar en unos pocos días

Primer aviso, que si en una de estas matrices es de más de 20 números, entonces hay que tener dos números de $a$$b$, de tal manera que $a=2b$. Por lo tanto el número máximo de elementos en el array no es mayor que 20.

A continuación, vamos a decir, que hemos dividido en 4 grupos $A,B,C,D$ ($|A|\geq |B|\geq |C|\geq |D|$). De curso $10\leq |A|\leq 20$. Debido a $B,C,D$ tiene al menos 20 elemnts en total, tenemos $|B|\geq 7$. Vamos a denotar $|A|=n$

Ahora echemos $n-1$ diferencias de $A$ $(a_1<a_2<\cdots < a_n)$: $w_k=a_n-a_k$ ($k= 1,2,..., n-1$). Estas diferencias tienen que ser divididos entre el $B,C$ $D$

Después de encontrar estas diferencias en el $B,C$$D$, entre estas matrices se encuentra al menos una de satisfacer dos condiciones:

• Es tener al menos 6 elementos
• Contiene al menos tres diferencias $w_a< w_b< w_c$

o al menos de una matriz, que contiene 4 diferencias $w_a<w_b<w_c<w_d$

Ahora tenemos dos casos:

1. Primer caso (array con al menos 6 elementos y 3 differnces):

Vamos a denotar los elementos de esta matriz, que son diferentes a los de $w_a, w_b, w_c$$e_1<e_2<e_3$.

Para cada $i=1,2,3$ podemos encontrar dos diferencias $w_{\alpha_i}<w_{\beta_i}$ tal que

• $w_{\alpha_i}<w_{\beta_i}<e_i$, o
• $e_i < w_{\alpha_i}<w_{\beta_i}$

Ahora crear diferencias: $$y_1 = w_c-w_b,\,y2=wc-w_a,\, y_3=w_b-w_a,$$ $$y_{i,1}=|w_{\alpha_i} - e_i|,\, y_{i,2}=|w_{\beta_i} - e_i|$$

• 3 diferencias $y_i$ no puede estar en $A$ ($y_i \in A$)
• Para cada par $y_{i,1},y_{i,2}$ $A$ no puede ser ambos ($|y_{i,2}-y_{i,1}| \in A$)

Así que hay al menos 6 diferencias que se pueden colocar en otros conjuntos - resto de pensar es la misma que para el 16 elementos

2. Segundo caso (4 diferencias)

Vamos a crear 6 diferencias: $$y_1=w_d-w_c,\, y_2=w_d-w_b,\, y_3=w_d-w_a,\\ y_4 = w_c-w_b,\, y_5=w_c-w_a,\, y_6 = w_b-w_a$$

Estos no se pueden bo en $A$, somust ser colocados en los otros dos grupos - resto de pensar es la misma que para el 16 elementos.