¿Qué significa el símbolo principal de un operador diferencial ser escalares?

Question

Me gustaría entender mejor lo que significa para el símbolo principal de un operador diferencial a ser escalar.

Concretamente, actualmente estoy mirando el de Laplace - Beltrami operador en un n-dimensional de Riemann colector $(M,g)$.

A nivel local, $$\begin{equation} \triangle_g = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \sum^n_{i,j = 1} \partial_i g^{ij} \sqrt{|g|} \partial_j \end{equation}$$ donde $|g|$ denota el determinante y $(g^{ij})$ la inversa de la matriz a $(g_{ij})$.

La expansión de la expresión anterior obtenemos $$\begin{equation} \triangle_g = \sum_{i,j = 1}^n g^{ij} \partial_i \partial_j + \sum_{i,j = 1}^n (g^{ij} \frac{\partial_i \sqrt{|g|}}{\sqrt{|g|}} + \partial_ig^{ij})\partial_j \end{equation}$$

y, entonces, el símbolo principal está dada por $$\begin{equation} p_2(x,\xi) = \sum_{i,j = 1}^n g^{ij} \xi_i \xi_j \end{equation}$$

(espero estoy en lo correcto hasta el momento)

Ahora, hay dos preguntas que estoy tratando de buscar pero no encuentro una respuesta que me ayude a llenar todos los huecos que tengo actualmente en mi conocimiento:

(1) ¿qué significa cuando se dice que el símbolo principal es escalar ? Qué significa que he a $g^{ij} = \lambda \delta_{ij}$ para un número $\lambda$ ?

(2) desde $\triangle_g$ es de forma elíptica, ¿esto significa que el símbolo principal es escalar ? No creo que sea cierto, pero puedo diagonalize la matriz$g$, de modo que es el principal símbolo se convierte en escalar ? Pero, ¿qué significa para un no-constante de matriz $g$ a ser diagonalized ?

Espero que las preguntas no son demasiado confundido, por favor hágamelo saber en caso de más la aclaración es necesaria.

Hay un libro que recomiendo a mí mirando, dado a mis preguntas anteriores ?

Muchas gracias!

Answer 1

(1) o sea que (i) el principal símbolo no depende del punto x o (ii) que es una función escalar, es decir, las funciones que se definen los actos del operador diferencial en una variable. Tanto no tiene sentido en tu caso, porque (i) no es invariante bajo coordenadas transformaciones y (ii) las fuerzas n = 1.

(2) elíptico significa, por definición, que el símbolo principal es inversible para todos $\xi \not= 0$.