Teorema de Van-Kampen para hallar un grupo fundamental

Question

Agradecería que alguien echara un vistazo a mi solución al siguiente problema para ver si es correcta. Muchas gracias por ayudar a la gente incluso durante las vacaciones.

Lo siento, tengo que borrar la pregunta debido a algunas cuestiones morales.

Answer 1

Supongo que quiere obtener un comentario sobre su prueba.

Aquí está: Su argumento parece sólido, pero no entiendo, ¿por qué usted toma $\pi_1(U)=\langle \alpha\rangle$ en lugar de $\pi_1(U)=\langle \beta\rangle$ porque si le quitas el punto $x_0$ donde $A,B,C$ se identifican, una retracción deformación obvia en mi opinión se retraería $Z\setminus\{x_0\}$ a $D$ . Entonces para $\phi\colon \pi_1(U\cap V)\to \pi_1(U)$ la imagen $\phi(\gamma)=\alpha^3$ es realmente evidente por esta retracción de la deformación.

En general, su solución es plausible.

Fuera de tema: El nudo $K$ debería ser un nudo toroidal. :)