¿Cuál es la derivada de la siguiente función?
$$\frac {d}{dx}x^{\lfloor{x}\rfloor}$$ Aquí, $\lfloor x \rfloor$ es la función piso.
Intenté: $$\frac {d}{dx} x^x=\frac {d}{dx} e^{x \ln x}=x^x (\ln x +1)+C$$
Pero, aquí $\lfloor{x}\rfloor$ es problemático para mí.
La función tiene discontinuidades en los valores enteros de $x$. Aparte de eso, puedes evaluar las derivadas usando $\frac{d}{dx}x^a=ax^{a-1}$ porque $\lfloor x\rfloor$ es constante para $a < x < a+1$, donde $a \in \mathbb{Z}$. En resumen, la derivada de $x^{\lfloor x \rfloor}$ cuando existe es $$\lfloor x \rfloor x^{\lfloor x \rfloor-1}.$$
Pero si $0 < x < 1$ entonces $\lfloor x \rfloor x^{\lfloor x \rfloor - 1} = \lfloor x \rfloor = 0$, no se necesita ningún manejo especial.
@Principiante No es constanta globalmente, pero es constanta localmente en todas partes excepto en los enteros, y la diferenciabilidad es una propiedad local.
Supongamos que $x\in[n,n+1)$, donde $n$ es un entero. Entonces $$ f(x)=x^n $$ y por lo tanto $f$ coincide con $x^n$ en el intervalo abierto $(n,n+1)$. Por lo tanto $f'(x)=nx^{n-1}$ para $x\in(n,n+1)$.
Así, para $x$ no entero, $$ f'(x)=\lfloor x\rfloor x^{\lfloor x\rfloor-1} $$ El problema ahora es ver si $f$ es diferenciable en los enteros. Pero si $n\ne0$ es un entero $$ \lim_{x\to n^+}x^{\lfloor x\rfloor}=\lim_{x\to n^+}x^n=n^n $$ mientras que $$ \lim_{x\to n^-}x^{\lfloor x\rfloor}=\lim_{x\to n^-}x^{n-1}=n^{n-1} $$ Los límites son diferentes cuando $n\ne1$. También $$ \lim_{x\to0^+}f(x)=1 \qquad \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty $$ Esto muestra que la función no es continua en los enteros $\ne1$, por lo tanto no es diferenciable tampoco.
Ahora intentemos ver si la derivada existe en $x=1$.
¿Puedes explicarme por qué debemos encontrar $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$ y $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)? Sé que el primer límite es igual a $1$. Pero W.A. me da el segundo límite como $+\infty$. ¿Es importante saber esto? Gracias.
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Cuando $x$ no es un número entero, entonces la función piso es localmente constante, así que trátala como una constante al diferenciar. En números enteros, necesitas usar la definición de límite de la derivada, y no hay garantía de que el límite exista. (Intenta comparar los límites derecho e izquierdo del cociente de diferencias.)