Aplicaciones del Álgebra Abstracta a las matemáticas elementales

Question

Actualmente soy un estudiante de licenciatura en matemáticas. Actualmente estoy tomando Álgebra. El curso es interesante, pero tengo mucha curiosidad por la utilidad del álgebra.

No estoy preguntando sobre "aplicaciones del álgebra a la vida real". Estoy preguntando sobre cómo el álgebra puede ser usada para resolver problemas de matemáticas. Desafortunadamente, buscar en Google "aplicaciones del álgebra" no es tan útil.

Ahora mismo sólo puedo recordar haber visto dos ejemplos de aplicaciones "útiles" del álgebra - una prueba del Pequeño Teorema de Fermat, y determinar si un polinomio es soluble en radicales mirando su grupo Galois.

Lo que me interesa de ambos problemas es que son de interés para alguien que no necesariamente se ha encontrado con el álgebra abstracta todavía (por ejemplo, ¿cuál es el resto cuando divides k^p por p? ¿Puedes escribir explícitamente las raíces de algún polinomio usando sólo los números enteros y las funciones especificadas?).

Al menos por la forma en que mi curso está progresando actualmente, se siente como si tales aplicaciones fueran pocas y lejanas entre sí. Actualmente estamos haciendo observaciones sobre las permutaciones (por ejemplo, si p y q son permutaciones, entonces pq y qp tienen "formas similares"), lo cual es interesante, pero no veo cómo el álgebra ha ayudado a hacer alguna deducción interesante - todos los resultados interesantes hasta ahora sobre las permutaciones (por ejemplo, el mencionado anteriormente) se hicieron sin ningún resultado algebraico.

Sólo cuando hacemos una pregunta usando terminología algebraica se requería álgebra (por ejemplo, mostrar An es un subgrupo normal de Sn). Si el álgebra sólo se utilizara para responder a preguntas sobre el álgebra, no habría necesidad real de estudiar el álgebra, ¿verdad?

¿Cuáles son algunas otras aplicaciones "elementales" del álgebra? ¿Cuáles son algunos otros resultados interesantes que sería capaz de entender después de un curso de introducción?

Tengo la sospecha de que encontrar respuestas a estas preguntas mejoraría mi comprensión del álgebra, pero he tenido dificultades para encontrar muchas buenas respuestas.

Answer 1

Uno de los resultados más importantes que se aprende en un primer curso de álgebra abstracta es El lema de Burnside que tiene muchas aplicaciones en combinatoria y teoría de números. Hace algún tiempo Escribí una serie de entradas en el blog que conducen a un poderoso corolario del lema de Burnside llamado Teorema de la enumeración de Polya (incluyendo varias aplicaciones, así que deberías buscarlas en esos posts), que se puede utilizar para contar muchas cosas; originalmente se utilizaba para contar compuestos químicos.

El teorema de la enumeración de Polya, a su vez, puede utilizarse para demostrar un poderoso resultado en combinatoria denominado fórmula exponencial que te da una enorme cantidad de información sobre las permutaciones. Por ejemplo, utilizando la fórmula exponencial se pueden demostrar resultados como

El número de puntos fijos de una permutación aleatoria de $n$ elementos es asintóticamente Distribución de Poisson con el parámetro $\lambda = 1$ como $n \to \infty$

con relativa facilidad.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: Este es un post largo y no soy originalmente un matemático. Sólo quería ofrecer mi punto de vista como alguien que no sólo está en proceso de aprenderlas, sino que también ha tenido experiencia previa en su aplicación.

Lo que se puede apreciar de un curso de introducción
Personalmente, creo que el Cubo de Rubik es un buen objeto para hacer uso de tus conocimientos de teoría de grupos.
Se puede describir completamente como productos de grupos de permutación ¡y es divertido!

De hecho, probablemente se ajuste a lo que ha mencionado en la primera parte:

de interés para alguien que no se haya enfrentado necesariamente al álgebra abstracta

Así que si te gustan los rompecabezas, ¡considéralo como una herramienta de aprendizaje!
Intenta resolverlo utilizando la teoría que has aprendido en clase.
Si el típico cubo es demasiado mundano para ti, también hay opciones exóticas . :)
Incluso se imparten cursos de álgebra con él. (No recuerdo dónde)

Y aunque nos quedemos sólo en la teoría de grupos, muchas aplicaciones vendrán de la combinatoria.
Hay una buena razón para ello: todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutación .
Y la permutación ocurre con mucha frecuencia en los temas de combinatoria.
Por ejemplo, se puede demostrar que la enumeración de todas las permutaciones de $\lbrace 1,\dots,n\rbrace$ puede hacerse con sólo 2 generadores .

Dando un paso más en esta dirección, algunas áreas de la teoría de grafos también están estrechamente relacionadas con la teoría de grupos. Por ejemplo, la Problema de Isomorfismo Gráfico es conocido por ser un problema de subgrupos ocultos no abelianos . ¡Muy difícil en los casos generales!
Pero si el gráfico en cuestión es un gráfico de permutación Entonces se puede resolver de forma eficiente.

Si en cambio consideramos un problema de subgrupos ocultos abelianos, entonces esto incluye 2 clases de problemas muy importantes: Factorización de enteros y Logaritmo discreto.
Aunque para ser precisos, el estudio de estos problemas va más allá de la teoría de grupos.

Mientras se habla de la teoría de los números, hay algunos algoritmos agradables que se pueden entender sólo con la teoría de grupos.
Muchos resultados importantes se derivan sólo del pequeño teorema de Fermat:
Prueba de primalidad de Miller-Rabin : Una prueba probabilística para los primos (creo que sigue siendo la más eficiente)
Algoritmo p-1 de Pollard : Un algoritmo para encontrar factores primos pequeños

Si su curso introductorio cubre anillos, más específicamente polinomios en anillos, entonces la factorización de anillos de polinomios es una gran área para mirar.
Nota: La cuestión de si los polinomios tienen soluciones es equivalente a su factorización en factores lineales. Hay algunos buenos resultados que indican cuándo esto es posible.
Un ejemplo: Si GCD $(f(x),x^p-x)\neq 1$ entonces tiene soluciones en $\mathbb{F}_p$ .

No creo que tenga suficiente experiencia para explicarlo mejor... esto es lo mejor que puedo ofrecer por el momento. ¡Espero que sea útil!

P.D. El álgebra es también una importante puerta de entrada a muchas otras áreas. Geometría algebraica/Topología algebraica/Combinatoria algebraica, etc.
Tal vez si usted también mirara un poco en esa dirección podría encontrar más cosas que le interesen.

Answer 3

Racionalizar los denominadores que no son cuadráticos es una buena aplicación del álgebra lineal sobre campos. Por ejemplo, si se pide reescribir $$ \frac{1}{1-5\sqrt[3]{2}} $$ con un denominador racional, la mejor manera de abordar el problema es trabajar en el campo ${\mathbf Q}(\sqrt[3]{2})$ con ${\mathbf Q}$ -base $1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}$ .

Answer 4

Cuál es el período de la secuencia de Fibonacci $F_n$ módulo de un primo $p$ ?

Esta es la Período de Pisano . Es difícil decir mucho sobre el período exacto, pero se puede escribir un número que se garantiza que es divisible por el período utilizando algunos hechos sobre campos finitos de manera análoga al pequeño teorema de Fermat, junto con reciprocidad cuadrática . El resultado clave es que La fórmula de Binet

$$F_n = \frac{\phi^n - \varphi^n}{\phi - \varphi}$$

sigue manteniendo $\bmod p$ en un sentido adecuado para todos $p \neq 5$ . Aquí $\phi, \varphi$ son las dos raíces del polinomio característico $t^2 - t - 1$ .

Propuesta: Si $p \neq 5$ entonces $F_n$ tiene un período que divide $p - 1$ si $p \equiv 1, 4 \bmod 5$ ; de lo contrario, $F_n$ tiene un período que divide $2(p + 1)$ . Si $p = 5$ entonces $F_n$ tiene periodo $20$ .

Prueba. Por reciprocidad cuadrática, $p \equiv 1, 4 \bmod 5$ si y sólo si $t^2 - t - 1$ factores sobre $\mathbb{F}_p$ . Por el pequeño teorema de Fermat, se deduce que $\phi, \varphi$ tienen orden multiplicativo dividiendo $p-1$ . Si $t^2 - t - 1$ no es un factor sobre $\mathbb{F}_p$ entonces sus raíces se encuentran en $\mathbb{F}_{p^2}$ y el Mapa de Frobenius los intercambia; es decir, $\phi^p \equiv \varphi \bmod p$ y viceversa. En consecuencia, $\phi^{p+1} \equiv -1 \bmod p$ y concluimos que

$$F_p \equiv -1 \bmod p$$ $$F_{p+1} \equiv 0 \bmod p$$ $$F_{p+2} \equiv -1 \bmod p$$ $$F_{p+3} \equiv -1 \bmod p$$

y por inducción $F_{p+1+k} \equiv - F_k \bmod p$ Por lo tanto $F_{2(p+1)+k} \equiv F_k \bmod p$ como se desee. El caso $p = 5$ se deja como ejercicio. $\Box$

Esta proposición describe un patrón que es sencillo de verificar a mano, pero que sin algunos conocimientos de álgebra abstracta y teoría de números es muy difícil de explicar.

Answer 5

El teorema de Lagrange tiene algunas aplicaciones a la teoría elemental de los números:

1) El Teorema de Wilson dice que para un primo $p$ tenemos $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ . Prueba: Por el Teorema de Lagrange aplicado a $\mathbb{F}_p^*$ tenemos $X^{p-1}-1 = \prod_{a \in \mathbb{F}_p^*} (X+a)$ en $\mathbb{F}_p[X]$ . Ahora dejemos que $X \mapsto 0$ .

2) La definición algebraica de los coeficientes binomiales se basa en el hecho de que para $n,m \in \mathbb{N}$ tenemos que $n! m!$ divide $(n+m)!$ . He aquí una prueba: Existe un monomorfismo canónico

$Sym(\{1,\dotsc,n\}) \times Sym(\{n+1,\dotsc,n+m\}) \hookrightarrow Sym(\{1,\dotsc,n+m\})$ .

Ahora aplica el Teorema de Lagrange.