Pregunta sobre una definición equivalente de un grupo simple

Question

Un básico consecuencia del primer teorema de isomorfismo es que un grupo finito G es simple si y sólo si su único homomórfica imágenes son G y el trivial grupo (hasta el isomorfismo). Sin embargo, no estoy seguro de si es o no se generaliza hasta el infinito grupos. Si no, entonces eso debe significar que existe una infinita grupo G con al menos uno no trivial de la normal y adecuada de los subgrupos, de tal manera que para cada uno normal y adecuada subgrupo H de G, G es isomorfo a G/H.

Por lo que lo hace equivalente a la definición de generalizar a infinito grupos?

Answer 1

Deje $D$ denotar la diádica racionales - los números racionales de la forma $\frac{a}{2^n}$ para algunos entero $n$. Entonces yo reclamo que $G = D/\mathbb{Z}$ es un contraejemplo.

Desde $G$ es abelian, cada subgrupo de $G$ es normal. Deje $D_k \subseteq D$ ser el subgrupo de los números racionales de la forma $\frac{a}{2^k}$. No es difícil mostrar que esta es una lista completa de los subgrupos de $D$ contiene $\mathbb{Z}$, y de ello se sigue que todos los subgrupos de $G$ son de la forma $D_k/\mathbb{Z}$. Tenemos $G/(D_k/\mathbb{Z}) \cong D/D_k$, y el isomorfismo $D/D_k \cong D/\mathbb{Z}$ está dado por el mapa de $\phi:D \rightarrow D$ de la multiplicación por $2^k$.

Edit: Este es el mismo como egreg el ejemplo para p = 2.

Answer 2

Si $\mathbb{Z}(p^\infty)$ denota el Prüfer $p$-grupo, entonces para cada subgrupo apropiado (normal) $H$, $\mathbb{Z}(p^\infty)/H\cong \mathbb{Z}(p^\infty)$. Tenga en cuenta que este grupo está muy lejos de ser simple.