¿Si $A\subseteq B$ donde $A,B$ son dominios conmutativos y $B$ son finitamente generado $A$-módulo es Frac $(A)\subseteq$Frac $(B)$ finito?

Question

¿Si $A\subseteq B$ donde $A,B$ son dominios conmutativos y $B$ son un módulo de #% finitamente generados %#% es $A$ una extensión finita del campo?

Sé que esta extensión es algebraica y cada elemento del Frac $\operatorname{Frac}(A)\subseteq \operatorname{Frac}(B)$ satisface un polinomio monic con coeficientes en $(B)$. No sé cómo probar esta extensión es finita y no se dan cuenta de cualquier contraejemplos.

Answer 1

Sí. Esta es la razón.

Que $S=A\setminus \lbrace 0 \rbrace$. Su hipótesis de finitud implica que $S^{-1}B$ también es finitamente generado como un módulo sobre $S^{-1}A$.
Por lo tanto, $S^{-1}B$ es un campo ya que es un dominio de dimensión finita sobre un campo.
Pero entonces usted tiene $S^{-1}A=Frac(A) \subset S^{-1}B\subset Frac (B)$ $ S^{-1}B$ un campo: necesariamente entonces $ Frac ( B )= S^{-1}B$ y que ya sabemos que $S^{-1}B$ es finito dimensional $S^{-1}A=Frac(A)$, lo mismo se aplica para $Frac(B)$.