¿$N(\alpha) = \pm 1 \implies \alpha$ es invertible - es mi prueba correcta?

Question

Deje $\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2}\mid a, b \in \mathbb{Z}\}$

Deje $N(a + b\sqrt{2}) = a^2 - 2b^2$

Deje $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$ $\alpha, \ \beta \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Reclamo: $\alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es invertible si y sólo si $N(\alpha) = \pm 1$

Me gustaría alguna opinión acerca de mi prueba de la segunda parte de esta declaración para asegurarse de que estoy en lo correcto. I. e. si $N(\alpha) = \pm 1 \implies \alpha$ es invertible.

Supongamos $\alpha\beta \neq 1$ cualquier $\beta$. I. e. $\alpha$ no es invertible.

Entonces tenemos que

$N(\alpha\beta) \neq N(1)$

$N(\alpha)N(\beta) \neq N(1)$

Suponiendo que $N(\alpha) = \pm 1$ da que

$\pm N(\beta) = 1$

Si tomamos $\beta$ $1$ o $-1$ esta igualdad se cumple. Por lo tanto, tenemos la contradicción. Por lo tanto, $\alpha$ es invertible.

¿Le parece bien?

Answer 1

Aquí está una prueba más conceptual, que utiliza sólo que $\alpha$ es integral (que es cierto desde
$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ integralmente es cerrado) y la definición de la norma. Por lo que el polinomio característico de $\alpha$, por ejemplo, $x^n+\cdots +a_0$, así que $$ \alpha^n+\cdots + a_1\alpha + a_0 = 0 $ y $a_0=\pm N(\alpha)=\pm 1$, porque aquí el término constante es la norma para firmar. Esto significa $$ \pm \alpha (\alpha^{n-1}+\cdots + a_1) = 1, $$ así que $\alpha$ es invertible.