Hasta donde puedo decir, el autor utiliza $\|\cdot\|$ para representar la magnitud de un vector, pero yo solo he visto la notación $|\cdot|$ para representar la magnitud de un vector. ¿Hay alguna diferencia? Si es así, ¿cuál es? y si no, ¿por qué molestarse?
Por supuesto, los vectores suelen distinguirse de otra manera, por ejemplo, $|k\mathbf{v}| = |k| |\mathbf{v}|$ o $|k\vec v| = |k| |\vec v|$.
Ese es un símbolo común para una norma en matemáticas. Supongo que en tu caso significa la longitud del vector.
Para obtener más información sobre las normas en general, consulta _Espacio vectorial normado_ (Wikipedia).
En vectores regulares, generalmente son equivalentes. (nota: "regular" aquí no es un subconjunto especial de vectores, se refiere al significado común de "vector")
Sin embargo, hay espacios vectoriales que no son simplemente una lista de números de la forma en que lo son los vectores regulares. Y en algunos de estos espacios vectoriales, el valor absoluto de algo puede ser más vago.
Por ejemplo, consideremos el espacio vectorial para funciones que consiste en funciones coseno y seno. De esto, tenemos $$ \|\sin(x)\| = 1 $$ como $\sin(x)$ es una función unitaria en el espacio (debido a la normalización). Sin embargo, $|\sin(x)|$ representa una función siempre positiva, no la norma de la función.
Cuando se trata formalmente con espacios vectoriales, mantener la distinción es valioso. Cuando simplemente se trabaja con vectores regulares, no hay una necesidad especial, y es elección del autor.
Básicamente lo que estás diciendo significa una norma. Entonces, ¿qué es una norma? Una norma es básicamente una función en un espacio vectorial dado $V$ sobre el campo $F$ de números complejos. Por lo tanto, una norma en $V$ es una función $p:V\rightarrow \Bbb{R}$ que tiene las siguientes propiedades:
1) $p(av)=|a|p(v)$
2) $p(u+v)\leq p(u)+p(v)$
3) Si $p(v)=0$ $\iff$ $v$ es el vector cero.
Donde $a \in F $ y $v,u \in V $
Puedes encontrar otras propiedades y usos de la norma aquí: http://es.wikipedia.org/wiki/Norma_%28matem%C3%A1ticas%29
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Fíjate en este código: \|\cdot\|. La diferencia entre ||a|| y \|a\| es quizás más evidente cuando ves la diferencia en el renderizado entre ||a||||b|| y \|a\|\|b\|, así: $||a||||b||$ frente a $\|a\|\|b\|$. Edité en consecuencia. ${}\qquad{}$
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Una pregunta relacionada: math.stackexchange.com/q/875489/39599
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En algunos círculos, $|\cdot|$ denota la norma euclidiana y $\|\cdot\|$ puede denotar cualquier norma. Sin embargo, esta convención no es extremadamente extendida.
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Puede ayudar a distinguir vectores de escalares y normas de valores absolutos.