No entiendo por qué no puedo obtener la suma telescópica después de la descomposición de la fracción parcial:
$$\frac{1}{n^3-n}= \frac{1}{n(n-1)(n+1)}=\frac{-1}{n}+\frac{1}{2(n-1)}+\frac{1}{2(n+1)}=\frac{-1}{n}+\frac{n}{(n-1)(n+1)}.$$
Tengo $\sum\limits_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^3-n}=\phi(n+1)-\phi(0).$
La respuesta debe ser $1/4$ .
Si se hubiera detenido en el ${-1\over n}+{1\over2(n-1)}+{1\over2(n+1)}$ y reescribirlo como
$${1\over n^3-n}={1\over2}\left({1\over n-1}-{1\over n} \right)-{1\over2}\left({1\over n}-{1\over n+1} \right)$$
entonces la serie hace telescopio. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la suma debe comenzar en $n=2$ en lugar de $n=0$ ya que $1/(n^3-n)$ es indefinido para $n=0$ y $n=1$ . (Una edición del PO corrigió el punto de partida mientras publicaba esta respuesta). El único término que queda después de las cancelaciones telescópicas es
$${1\over2}\left({1\over2-1}-{1\over2}\right)={1\over4}$$
$$\sum _{ n=2 }^{ \infty } \frac { 1 }{ n^{ 3 }-n } =\sum _{ n=2 }^{ \infty } \frac { 1 }{ \left( n-1 \right) n\left( n+1 \right) } =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=2 }^{ \infty } \left[ \frac { 1 }{ \left( n-1 \right) } +\frac { 1 }{ \left( n+1 \right) } -\frac { 2 }{ n } \right] =\\ =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=2 }^{ \infty } \left[ \frac { 1 }{ \left( n-1 \right) } -\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ \left( n+1 \right) } -\frac { 1 }{ n } \right] =\color{red}{\frac { 1 }{ 4 }} $$
¿Cómo se puede separar $\sum _{n=2}^\infty\frac1n$ del resto cuando esta suma es infinita? El mismo comentario se aplica a las otras sumas. La tercera expresión de tu respuesta se evalúa como $\frac12(\infty+\infty)-\infty$ .
@Théophile:Gracias por responder;no entiendo el hecho de que si la suma es infinita entonces no podemos separar los términos
@mezzaluna Considere, por ejemplo, $\sum _{n=1}^\infty1$ que es infinito. Así que una expresión como $\sum _{n=1}^\infty1 - \sum _{n=1}^\infty1$ no está bien definida, porque es $\infty-\infty$ . Por otro lado, $\sum _{n=1}^\infty(1-1) = \sum _{n=1}^\infty0 = 0$ . Así que hay que tener mucho cuidado al separar los componentes de las sumas infinitas.
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Vuelva a escribir el $\frac{-1}{n}=\frac{-1}{2n}+\frac{-1}{2n}$ en el centro... ¡es telescópico!
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Una serie de telescopios es del tipo $a_i - a_{i+d}$ . El tuyo es de la forma $a_{n} + b_{n-1} + b_{n+1}$ . El $a_i$ no parecen tener ninguna relación con el $b_i$ y porque se añade el $b_i$ términos que componen en lugar de telescopio. Pero si se hace lo que sugiere Donald Splutterwit se nota $a_n = -2b_n$ por lo que realmente tiene $(b_{n+1} - b_{n}) - (b_n - b_{n-1}$ que sí es telescópica.