Si un $\subset S^n$ tiene diámetro esférico < $\pi$, entonces el $S^n - A$ contiene una semiesfera cerrada.

Question

Ser de que $S^n$ $n$-esfera unidad dimensional en $\mathbb R^{n+1}$.

Que $X \subset S^n$ tal que para cualquier $x, y \in X$ el ángulo entre %#% es menor que $x$ #% y $y$.

Entonces $180°$ contienen una semiesfera, es decir, algo isométrica a $S^n - X$. ¿Puede dar una prueba con herramientas elementales y sin necesidad de utilizar directamente el teorema de la separación de Hahn-Banach?

Answer 1

Esto es incorrecto: % Let $X$consisten en los cuatro vértices de un tetraedro regular inscrito en $S^2$. Entonces la distancia entre dos puntos cualesquiera del $X$ es $