Si $E \subset \mathbb{R}$ tiene una medida de $0$, no existe $f \in L^1(\mathbb{R})$ tal que, para cada $x \in E$, $$\lim_{r \to 0} {1\over{r}} \int_{x-r}^{x+r} f(y)\,dy = \infty?$$ Lo que si $E$ tiene medida positiva?
Respuesta
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Vamos a denotar por $|S|$ la medida de Lebesgue medibles $S\subseteq\mathbb{R}$. Supongamos $|E|=0$. Desde que la medida de Lebesgue es regular, se puede encontrar para cualquier entero positivo $k$ un conjunto abierto $U_k\supseteq E$ tal que $|U_k|<2^{-k}$. Ahora pon $f=\sum_{k=1}^\infty\mathbf{1}_{U_k}$ (aquí se $\mathbf{1}_S$ denota la función de indicador de $S$). La monotonía teorema de convergencia indica que $\int_{\mathbb{R}}f=\sum_{k=1}^\infty\int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{U_k}<\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}<\infty$, lo $f\in L^1(\mathbb{R})$.
Pero ahora vamos a arreglar cualquier $x\in E$ y cualquier entero $N>0$. Desde $U_1\cap\cdots\cap U_N$ es un conjunto abierto que contiene a$x$, $(x-r,x+r)\subseteq U_1\cap\cdots\cap U_N$ $r>0$ suficientemente pequeño, así que para tales $r$ tiene $$\int_{x-r}^{x+r}f\ge\int_{x-r}^{x+r}\sum_{k=1}^N \mathbf{1}_{U_k} =\int_{x-r}^{x+r}N=2Nr,$$ así que (desde $N$ fue arbitraria) $\lim_{r \to 0}\frac{1}{r}\int_{x-r}^{x+r} f=\infty$.
En cuanto a la segunda pregunta, usted necesita un poco más avanzada herramienta de análisis, a saber, el de Hardy-Littlewood máximo de la función. Tenemos $$\left|\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r} f\right|\le\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}|f|\le (Mf)(x),$$ pero la máxima desigualdad de Hardy y Littlewood, implica que $(Mf)(x)<\infty$.e. $x$. Así que el límite que escribió no puede ser $\infty$ todos los $x\in E$ (desde $|E|>0$). De hecho, la diferenciación de Lebesgue teorema (que es una consecuencia de la máxima desigualdad) dice con más precisión que tenemos $$\lim_{r\to 0}\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r} f=f(x)$$ por una.e. $x$ (así, en particular, el límite existe y es finito una.e.).
