He encontrado una prueba en el libro de Análisis de Fourier En el Número de Campos que el cierre de cualquier subgrupo es un subgrupo, el uso de la continuidad del argumento junto con las redes.
Sin embargo, la siguiente prueba también parece plausible, pero es válido?
Instrucción: Si $H$ es un subgrupo de un grupo topológico $G$, entonces también lo es su cierre en $G$.
Indicar el cierre de $H$$H^{closure}$. Vamos a h,h' dos elementos en $H^{closure}$, y deje $U$ ser un barrio de la unidad en la $G$. Desde h y h' mentira en $H^{closure}$, hay elementos de a, a' en $U$ tal que
ha$\in H$,
h a'$\in H$.
Entonces, como el congugation función es continua, la izquierda y la derecha toplogies son los mismos, y por lo tanto no son b, b' $\in U$ tal que
ja a'= bhh a'= bh"=h"b"$\in H$, donde" h " es en $H^{closure}H$ $\subseteq H^{closure}$.
En cuanto a $H^{closure}H$ $\subseteq H^{closure}$, tomar dos elementos de e $\in H^{closure}$, f $\in H$, e $v$$V$, un arbitrario barrio de la unidad en la $G$. A continuación, hay un elemento $g$ $V$ tal que
$efv=(eg)f \in HH \in H$.
Así $H^{closure}H$ $\subseteq H^{closure}$.
C. P. F. D.
La prueba de la inversión es similar; hay algún problema en el argumento? Gracias mucho por aquí.
