Mostrar el coeficiente de$x^3$ en la expansión de$(1+x+x^2+x^3)(1+x^2)(1+x^3)$ es el mismo que el número de particiones de$3$

Question

(dejar una partición de $n \in \Bbb N, n>0 $ ser una suma de enteros positivos)

¿Cómo le muestran que el número de particiones diferentes de $3$ es el coeficiente de $x^3$ en el la expansión de:

$(1+x+x^2+x^3)(1+x^2)(1+x^3)?$

Mi intento:

desde allí se $3$ soportes para elegir los factores de $x^3$, podemos decir lo siguiente:

$ x^3 = x^a x^b x^c, a \in \{0,1,2,3\}, b \in \{0,2\}, c \in \{0,3\}$

El coeficiente de $x^3$ en la expansión será igual al número de soluciones capaces de satisfacer $ x^3 = x^a x^b x^c$.

$a=0 \Rightarrow b=0 $ $ c=3$,

$a=1 \Rightarrow b=2 $ $ c=0$,

$a=2 \Rightarrow$ ninguna solución.

$a=3 \Rightarrow b=0 $ $ c=0$,

$\Rightarrow$ el coeficiente de $x^3$ $3$ que es igual al número de particiones de $3$.

Entiendo lo que la pregunta está pidiendo? Porque me pregunto si sólo la multiplicación de los soportes y obtener el coeficiente es un equivalente de la solución a la pregunta.

Gracias.

Answer 1

Usted puede ver la "situación" como intento de plasmar en este boceto

Por lo que se refiere a las particiones de $3$ ( $2$ $1$ ) , todos los "trozos".

Explicación de los croquis
Cuando se expanda el primer polinomio, esto proporcionará un factor de $x^k$ a multiplicar el resto, y $k$ es $0$ o $1$ o $2$ o $3$.
El segundo polinomio proporcionará un factor de $x^j$$j=0,2$, y el tercero es un factor de $x^n$$n=0,3$.
Cuando, a continuación, recoger los términos de $x^{(j+k+n)}$, agrupando todos los términos con el exponente $j+k+n=q$, entonces cada uno de los distintos términos que corresponden a cada una de las particiones de $q$ compuesta de $0..3$ partes $=1$ +$0..1$ partes $=2$ + $0..1$ piezas de $=3$, y el coeficiente resultante de $x^q$ será el número de esas particiones.

Answer 2

Aquí hay dos variaciones, siendo ambos igualmente válidas con respecto al problema planteado. Tal vez la segunda variante es preferible ya que se proporciona información adicional sobre la representación del polinomio.

Algebraica de la variante:

Calculamos el coeficiente de $x^3$ del polinomio y compararlo con $p(3)$, el número de particiones.

Desde $3$ admite una representación como suma de enteros positivos sin respetar el orden de los sumandos por \begin{align*} 3&=3\\ &=2+1\\ &=1+1+1 \end{align*} vemos a $p(3)=3$.

Por otro lado, utilizando el coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ en un polinomio, obtenemos \begin{align*} [x^3]&(1+x^3)(1+x^2)(1+x+x^2+x^3)\\ &=\left([x^3]+[x^0]\right)(1+x^2)(1+x+x^2+x^3)\tag{1}\\ &=\left([x^3]+[x^1]+[x^0]\right)(1+x+x^2+x^3)\tag{2}\\ &=1+1+1\tag{3}\\ &=3 \end{align*}

Comentario:

• En (1) tenemos en cuenta el coeficiente de $[x^3]$ $1+x^3$ y el uso de la regla \begin{align*} [x^p]x^qA(x)=[x^{p-q}]A(x) \end{align*}

• En (2) hacemos lo mismo con $1+x^2$ señalando que $[x^0]x^2=0$.

• En (3) seleccionamos los coeficientes de $1+x+x^2+x^3$ respectivamente.

Variante se basa en la generación de funciones:

Si queremos contar el número de particiones de un número $n$, tenemos que considerar los sumandos $k$$1\leq k\leq n$. El sumando $k$ puede producirse cero, uno, dos o más veces, pero en la mayoría de las $\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$ veces. La contribución de $k$ codificado como los poderes de $x$ en la generación de la función es, por tanto, \begin{align*} 1+x^k+x^{2k}+\cdots+x^{\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor k} \end{align*}

En caso de$p(n)$$n=3$, debemos considerar los sumandos $3,2$$1$.

• Sumando: $3$ puede producirse cero o más veces dándole $\longrightarrow 1+x^3$

• Sumando: $2$ puede producirse cero o más veces dándole $\longrightarrow 1+x^2$

• Sumando: $1$ puede producirse cero, uno, dos o tres veces $\longrightarrow 1+x+x^2+x^3$

Llegamos a la conclusión de: $p(3)$ es el coeficiente de $x^3$ en \begin{align*} (1+x^3)(1+x^2)(1+x+x^2+x^3) \end{align*}