Resolviendo

Question

Me gustaría saber ¿cómo podemos resolver la ecuación de $\cos x = x$, sin gráficos. Sé que sólo habría una solución, eso es obvio, también en entre $0$$\frac{\pi}{2}$. Hay una real expresión en términos finitos [tal vez lo que llamamos la forma cerrada, no estoy seguro) que podría dar $x$ o $\cos x$. Aunque no he estudiado en series de Taylor, sé que sólo se da una serie infinita, que no es lo que quiero. Sospecho que no se podía hacer, pero, ¿puede alguien explicar por qué?

Sólo para la integridad, Wolfram Alpha, da el aproximado de respuesta $x = 0.7390851332151606416553120876738734040134$, pero no se puede dar una solución exacta.

Answer 1

Usted está pidiendo al$$x=\cos{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}.$$, En general, la solución no va a tener una forma cerrada, pero se puede resolver,

$$x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots+\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}$$ a obtener aproximaciones.

Tomando $k=1$ somos,

$$x=1-\frac{x^2}{2} \iff x^2+2x-2=0$$

Que tiene dos raíces, y uno que nos interesa dentro del dominio de $[0,2\pi)$. Es decir, $x=-1+\sqrt{3}=0.73205080756887729352744634\dots$.

Tomando los valores más grandes de $k$ te dará una idea más exacta de la solución. Pero puede que no ayude, ya que se va a encontrar raíces de polinomios de más y más alto grado.

Si usted no sabe, el polinomio en el lado derecho de arriba es un polinomio de Taylor para el coseno de grado $2k$. Usted puede leer sobre tales polinomios en casi cualquier introductorios de cálculo del libro, Spivak del Cálculo hace un buen tratamiento.

Answer 2

Solución Exacta

Que la solicitud de una "exacta", la solución es el problema. El problema es con la definición exacta de "exacto". Intenta explicar esto

Hay una real expresión en términos finitos [tal vez lo que llamamos la forma cerrada, no estoy seguro]

Algebraica De La Forma Cerrada

El de Abel-Ruffini Teorema dice que no se da una solución de forma cerrada para incluso quinto grado (o superior) ecuaciones polinómicas. Aquí la forma cerrada significa el uso racional de las constantes, los cuatro elementales operaciones: +,−, ×, ÷, así como los radicales $\sqrt[p]{q}$ ($p$- ésima raíz de $q$).

La Forma Cerrada

El término Forma Cerrada es la definición de wikipedia es

En matemáticas, una expresión que se dice ser una forma cerrada de expresión, si se puede expresar analíticamente en términos de un número finito de ciertos "conocido" de las funciones. Normalmente, dichas funciones se definen funciones elementales-constantes, una variable $x$, operaciones elementales de la aritmética (+ − × ÷), raíces enésimas, exponencial y logaritmo (que por lo tanto también incluyen funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas)

Incluso esta ampliación de la definición no es suficiente para resolver polinomios de alto grado. Y estamos en busca de una solución a un infinito de grado del polinomio (serie infinita). Así que usted podría tener suerte, pero lo más probable es que no.

¿Por qué la forma cerrada?

Pero, ¿qué es alcanzado por esta forma cerrada "exacto"-ness. Podemos escribir $\sqrt2$ o $\pi$ como una forma cerrada de expresión, pero estos la forma cerrada expresiones sufren de todos los problemas que se está quejando. Si usted pregunta a Wolfram Alpha para cualquier número de dígitos para $\sqrt2$, por lo que sólo será una aproximación y no exacta. Hay cualquier número de formas rápidas de obtener el número de dígitos que desea para $\sqrt2$ o $\pi$ pero luego el mismo puede ser dicho acerca de $x=\cos x$.

El punto es que no hay un único número que representa la solución a su pregunta (un demostrado fácilmente hecho). Ese número se convierte en no más exacta, por dar un especial con la letra griega (como hicimos para $\pi$). Hay una solución exacta, y que la solución puede ser encontrar a tantos dígitos como se desee, sin mucho esfuerzo.

Expresión Analítica

Un concepto más general que la forma cerrada es la de una expresión analítica, que permite a un número potencialmente infinito de operaciones aritméticas básicas y funciones comunes. Esto abre la puerta para una serie infinita, y las funciones comunes que se extendió para incluir muchas funciones especiales. En ese sentido, su pregunta es encontrar el cero de la expresión analítica $$0 = x - \cos x$$

Answer 3

No hay solución analítica de esta ecuación. La solución aproximada es lo que Wolfram Alpha le dio a usted. Serie de Taylor no son una solución, ya que, incluso para muy pocos términos, no conducen a la solución de alto grado de los polinomios; pero, como aproximación, en su caso, no conducen a malos resultados : por ejemplo, el desarrollo en la primera orden y de problemas conduce a una solución de $x=1.00$. En la segunda y tercera orden, $x=0.732$. En el cuarto y quinto orden, $x=0.739$.

Una mejor manera para aproximar la solución es el método de Newton, lo que significa que la iteración de acuerdo a

$x_{\text{new}} = x_{\text{old}} - \dfrac{f(x_{\text{old}})}{f'(x_{\text{old}})}$

En su caso $f(x) = x - \cos(x)$$f'(x) = 1 + \sin(x)$. Así, a partir de a $x=0$, la siguiente iteración se encuentran : $1.000000$ , $0.750364$ , $0.739113$ , $0.739085$ , $0.739085$. Usted podría continuar hasta llegar a la precisión deseada.