Solución de la ecuación diferencial estocástica

Question

Dejemos que $X_o=x$ , $dX_t=\frac{1}{X_t}dt+X_tdW_t$ , $W_t$ es un movimiento browniano que estoy pensando en probar $Y_t=\frac{X_t^2}{2}$ y aplicar el lema de ito sobre $Y_t$

Answer 1

Dejemos que $Y_t = \mathrm{e}^{t- 2 W_t} X_t^2$ . Entonces, aplicando el lema de Ito: $$ \mathrm{d} Y_t = \mathrm{e}^{t- 2 W_t} \mathrm{d} (X_t^2) + X_t^2 \mathrm{d} \mathrm{e}^{t- 2 W_t} + \mathrm{d} \mathrm{e}^{t- 2 W_t} \cdot \mathrm{d} (X_t^2) $$ Desde $\mathrm{d} \mathrm{e}^{t- 2 W_t} = \mathrm{e}^{t- 2 W_t} \left( 3 \mathrm{d} t - 2 \mathrm{d} W_t \right)$ et $\mathrm{d}(X_t^2) = (X_t^2 + 2) \mathrm{d} t + 2 X_t^2 \mathrm{d} W_t$ obtenemos: $$ \mathrm{d} Y_t = 2 \mathrm{e}^{t- 2 W_t} \mathrm{d} t $$ Además, la condición inicial es $Y_0 = \mathrm{e}^{0 - 2 W_0}X_0^2 = x^2$ . Por lo tanto: $$ \mathrm{e}^{t- 2 W_t} X_t^2 = Y_t = x^2 + \int_0^t 2 \mathrm{e}^{s - 2 W_s} \mathrm{d} s $$ Esto proporciona la solución: $$ X_t = \operatorname{sign}(x) \sqrt{ x^2 \mathrm{e}^{2 W_t - t} + 2 \mathrm{e}^{2 W_t - t} \int_0^t \mathrm{e}^{s - 2 W_s} \mathrm{d} s } $$