¿Una función definida para todas las entradas?

Question

Esto puede parecer una pregunta extraña, pero, ¿es realmente posible definir una función para todas las posibles entradas? Por esto, me refiero realmente a /todos los/ las entradas posibles, incluyendo los números de verdadero y falso, conjuntos, conjuntos de conjuntos, otras funciones,---todo. Para mí, esto no parece problemático, pero tal vez hay algún tipo de sutil razón por la que esto no se puede hacer. He aquí un ejemplo (tal vez) de una función definida para todas las posibles entradas:

$F(x) = \mathbf{verdadero} \text {si } x = 0 \\ F(x) = \mathbf{verdadero} \text {si } x = 1 \\ F(x) = \mathbf{false} \text{, de lo contrario.}$

¿Hay algo de malo con eso?

Answer 1

Una función que se entiende normalmente por tener dominio que es un conjunto de algún tipo. Hacerlo nos permite manejar funciones como conjuntos de sí mismos, es decir, conjuntos de pares ordenados. Por ejemplo, $f(x)=x^2$ sobre los números enteros puede ser pensado como $\{(1,1), (2,4), (-2,4),\ldots\}$.

Sin embargo, no todos los objetos matemáticos son conjuntos; para un ejemplo famoso de considerar el Cantor de la paradoja, es decir, si usted toma todos los conjuntos, el resultado no es un conjunto. Este objeto puede ser llamado una clase, y tales objetos son tan grandes y extrañas que no podemos definir funciones en la forma habitual. Podemos definir la función-como cosas, como se ha hecho en la OP. Sin embargo, si permitimos que el dominio a no ser un conjunto, el resultado de la función no es un conjunto. Así se vive fuera de serie familiar de la teoría. Esto hace que sea muy inusual, ya que (aparte de los lógicos) la mayoría de las personas viven toda su matemáticos vidas usando los objetos que se definen dentro de una teoría de conjuntos, normalmente ZFC o algo similar.

Answer 2

Su $F$ es realmente un predicado lógico:

$\forall x:[F(x)\iff x=0\lor x=1]$

En matemáticas (caso tal vez no en filosofía), probablemente le gustaría restringir el dominio de cuantificación (por ejemplo, para el conjunto de números naturales $\mathbb{N}$) como sigue:

$\forall x\in \mathbb{N}:[F(x)\iff x=0\lor x=1]$

Answer 3

Su enfoque está bien siempre y cuando usted sabe cómo $0$ y $1$ se representan. Un método aún más sencillo es $F(x)=2$ donde usted omitir la entrada totalmente. Todo lo que usted necesita para una función es una respuesta única a cada entrada en el dominio. ¿Por qué prestar atención a la entrada?