Demostrar que si una serie infinita converge, entonces la propiedad asociativa es

Question

Soy auto-estudio de el libro de la Comprensión de Análisis por Stephen Abbott y no tienen idea de cómo hacer ejercicio 2.5.2 en la página 57.

El ejercicio es como sigue:

Demostrar que si una serie infinita converge, entonces la propiedad asociativa se mantiene. Suponga $a_1+a_2 + a_3+a_4 + a_5+\cdots$ converge a un límite de $L$ (es decir, la secuencia de sumas parciales $(s_n) \to L$). [Esta frase ya me confunde; no entiendo por qué si $(a_n) \to L$, esto implica que $(s_n) \to L$?] Demostrar que cualquier reagrupamiento de los términos $$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_{n_1}) + (a_{n_1+1} + \cdots + a_{n_2}) + (a_{n_2 + 1} + \cdots + a_{n_3}) + \cdots $$ conduce a una serie que también converge a $L$.

Ahora, estoy consciente de que es mejor mostrar lo que he probado hasta ahora, pero no tengo idea de cómo empezar. Cualquier idea es muy apreciada.

Answer 1

La primera confusión, $a_1 + a_2 + a3+\cdots$ converge a un límite $L$ es a $\lim{n\to \infty}sn = L$ por definición. No significa $\lim{n\to \infty}a_n = L$.

Entonces para responder la pregunta significa que $\lim_{n\to \infty}s_n = L$ $\forall \epsilon >0$, existe $N$ tales que para todos los $n > N$, tenemos $|s_n - L |

Denotar

$b_1 = (a_1 + a2 + \cdots + a{n_1})$

$b_2 = (a_1 + a2 + \cdots + a{n1}) + (a{n1+1} + \cdots + a{n_2})$ $b_3 = (a_1 + a2 + \cdots + a{n1}) + (a{n1+1} + \cdots + a{n2}) + (a{n2 + 1} + \cdots + a{n_3}) $

Entonces no tienes que $bk = s{n_k}$ $n_k$ menos de $k$. Así que si $k>N$, $n_k \geq k >N$, entonces el $|bk-L| = |s{n_k}-L|

Por definición, hemos probado converge $b_k$ $L$

Answer 2

introduciendo la secuencia $(n_k)_k$ que es una extracción de la secuencia $(n)n$ la prueba es fácil: ahora tenemos $s{n_k}=(a1+\ldots+a{n1})+\ldots+(a{n1+1}+\ldots+a{n_k})$ $sn\to L$ $s{nk}\to L$ ($s{n_k}$ es extracción de $(s_n)$).