Si$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ es analítico y$\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$ muestra que$f$ es un polinomio

Question

Estoy aprendiendo acerca de análisis complejo y necesita algo de ayuda con este problema:

Si $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ es analítica y $\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$ muestran que $f$ es un polinomio (sugerencia: considere la función $g(z) = f(1/z)$).

Recordemos que los polos son los puntos donde la evaluación de la función implicaría la división por cero. Por lo tanto, desde el $\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$ esto significa que el $\infty$ es un polo de $f$. ¿Cómo continuar a partir de aquí y hacer uso de la pista?

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Debo mencionar que este problema ya ha sido solicitado por otros miembros, pero no pude encontrar ninguna solución utilizando la pista.

Answer 1

Supongamos que$f$ tiene la serie de Taylor $$ f (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_nz ^ n \ quad \ text {y} \ quad g (z) = f (1 / z ) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {a_n} {z ^ n} $$ Si$f$ no es polinomial, entonces$0$ es una singularidad esencial de$g$ ($\infty$ es una singularidad esencial de$f$). Por el teorema de Casorati-Weierstrass, para cualquier$A\in \Bbb{C}$, hay una secuencia$z_n\to0$ tal que$\lim_{n\to\infty}g(z_n)=A$, es decir, hay$z_n'=1/z_n\to\infty$ tal que$\lim_{n\to\infty}f(z_n')=A$, contradiciendo$\lim_{n\to\infty}f(z)=\infty$.

Answer 2

Sin Laurent de la serie y asumiendo $\;f(z)\;$ no es cero (porque entonces es trivialmente cierto).

Por la información dada no existe $\;M\in\Bbb R^+\;$ tal que $\;|f(z)|>1\;\;\;\forall\,z\in\Bbb C\;\;\text{with}\;\;|z|>M\;$ .

Debe ser que $\;f(z)\;$ tiene un número finito de ceros $\;z_1,...,z_n\;$, de lo contrario, su conjunto de ceros, que es en $\;C_M:=\{\,z\in\Bbb C\;;\;|z|\le M\}\;$, tiene un punto de acumulación por parte de Bolzano-Weierstrass, y por lo tanto de la identidad teorema esto significaría $\;f(z)=0\;$ .

De aquí que $\;g(z):=\frac{f(z)}{\prod\limits_{k=1}^n(z-z_k)}\;$ es analítica y no-cero, y por lo tanto también se $\;h(z)=\frac1{g(z)}\;$ es, y tenemos para $\;z\in\Bbb C\setminus C_M\;$:

$$|h(z)|=\frac{|z^n+A|}{|f(z)|}\le|z^n|+A\implies h(z)\;\;\text{is a polynomial without roots}\;(**)\;\implies h(z)=K$$

una constante, por el Teorema Fundamental del Álgebra, y por lo tanto también es $\;g(z)\;$ :

$$\frac{f(z)}{\prod\limits_{k=1}^n(z-z_k)}=g(z)=\frac1{h(z)}=\frac1K\implies f(z)=K(z-z_1)\cdot\ldots\cdot(z-z_n)$$

y hemos terminado.

Si usted necesita una prueba de $\;(**)\;$ pedir de nuevo.

Answer 3

Sugerencia: expanda$g(z)$ en la serie Laurent.