Hay una buena referencia sobre trascendental de la Teoría de Galois?
Más precisamente, si $K/k$ admite una separación de la trascendencia (o tal vez si es un separadamente generado extensión) a mí me parece que muchos de los habituales de los teoremas de la teoría de Galois ir a través de. Por otra parte, el grupo de $\text{Aut}(K/k)$ parece tener una estructura adicional; es decir, debe ser una expresión algebraica grupo de más de $k$.
Por ejemplo, a mí me parece que $k(x_1, ..., x_n)/k$ ha automorphism grupo $GL_n(k)$. (EDIT: Como Qiaochu puntos Yuan, esto es incorrecto; el automorphism grupo de al menos debe contener $PGL_{n+1}(k)$, actuando a través de su acción en el campo de función de $\mathbb{P}_k^n$.) Este tipo de cosas deben ser bien estudiados; si es así, ¿cuáles son los estándar de referencias sobre el tema?
He visto Pete L. Clark es excelente (en bruto) notas sobre temas relacionados aquí , pero parece que no para abordar bastante a este tipo de preguntas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para cada $n \geq 1$, existe un natural de la acción efectiva de $\operatorname{PGL}_{n+1}(k)$$k(x_1,\ldots,x_n)$. De hecho, $\operatorname{PGL}_{n+1}(k)$ es el automorphism grupo de $\mathbb{P}^n_{/k}$, la acción de ser la más obvia inducidos por la acción de $\operatorname{GL}_{n+1}(k)$ sobre el espacio vectorial $k^{n+1}$ que $\mathbb{P}^n$ es el conjunto de líneas.
Sin embargo, nadie dijo que esto era todo automorphism grupo de $k(x_1,\ldots,x_n)$! Es al $n = 1$ -- por ejemplo, porque cada racional mapa a partir de una curva suave a una variedad proyectiva es una de morfismos ("valuative criterio propio"). Sin embargo, $\operatorname{PGL}_{n+1}(k)$ es conocido no para estar todo el automorphism grupo de $k(x_1,\ldots,x_n)$ al $n > 1$. Más bien, el pleno de la automorphism grupo se llama el grupo de Cremona. Para $n = 2$ tenemos un problema en la geometría de las superficies, y se ha demostrado (por Max Noether al $k = \mathbb{C}$) que el automorphism grupo de aquí se genera por el lineal de automorfismos descrito anteriormente junto con un cierto conjunto de simple, bien entendido birational mapas, se llama cuadrática mapas o, de hecho, transformaciones de Cremona. Pero incluso cuando se $n = 2$ este automorphism grupo no es una expresión algebraica de grupo: es más grande que eso.
Al $n \geq 3$ es más conocido que el lineal de automorfismos y las transformaciones de Cremona no generar toda la automorphism grupo, y al parecer nadie tiene ni siquiera un buen conjetura en cuanto a lo que es un conjunto de generadores. Tuve la buena fortuna de escuchar una charla de James McKernan (en parte) de este tema en los últimos meses, así que estoy un poco más en esto de lo que yo podría haber sido. De todos modos, él nos dio la sensación de que esto está bastante desesperado problema en la actualidad. Por ejemplo, ver este reciente preprint en el que un lugar eminente algebraicas aparejador trabaja más duro para demostrar que, en apariencia, más bien débil, resultado en subgrupos finitos de las tres dimensiones de Cremona grupo!
Así que, sí, este es un tipo diferente de la cuestión de los considerados en mi áspera nota sobre trascendental de la teoría de Galois. A todas las apariencias es una pregunta mucho más difícil...
