¿Son isomorfos dos espacios de Hilbert con la misma dimensión algebraica (sus bases de Hamel tienen la misma cardinalidad)?

Question

Sabemos que dos espacios de Hilbert que tienen bases ortonormales de la misma cardinalidad son isomorfos (como espacios de producto interno).

Mi pregunta es: ¿qué podemos decir cuando sabemos que sus bases de Hamel tienen la misma cardinalidad? Esto implica claramente que son isomorfos como espacios vectoriales (basta con enviar una base a otra base y extenderla linealmente), pero ¿son también isomorfos como espacios de producto interno? (es decir, a través de un isomorfismo que también preserva el producto interno).

Answer 1

No, los espacios de Hilbert de diferentes dimensiones de Hilbert pueden tener la misma dimensión algebraica que los espacios vectoriales sobre $\mathbb R$ (o $\mathbb C$ (elija la que más le guste).

Para un cardenal $\kappa$ , dejemos que $H_{\kappa}$ sea el $\kappa$ -real (o complejo, lo que sea) de Hilbert, es decir, tiene una base ortonormal de cardinalidad $\kappa$ . Sea $\mathcal H=\{H_{\kappa}:\aleph_0\le\kappa\le2^{\aleph_0}\}$ . El conjunto $\mathcal H$ contiene al menos dos espacios de Hilbert no isomórficos ( $H_{\aleph_0}$ y $H_{2^{\aleph_0}}$ ) y tal vez hasta $2^{\aleph_0}$ de ellos dependiendo de su teoría de conjuntos. Afirmo que todos son algebraicamente isomorfos porque todos tienen dimensión algebraica $2^{\aleph_0}$ como espacios vectoriales sobre $\mathbb R$ .

En primer lugar, dado que el número de puntos en el espacio $H_{\kappa}\in\mathcal H$ con base ortonormal $\mathcal B$ es $|H_{\kappa}|\le|\mathcal B|^{\aleph_0}2^{\aleph_0}\le(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ la dimensión algebraica de cada $H\in\mathcal H$ es como máximo $2^{\aleph_0}$ .

A continuación, mostramos que el espacio de Hilbert separable de dimensión infinita $H_{\aleph_0}$ tiene dimensión algebraica al menos $2^{\aleph_0}$ exhibiendo un continuo de elementos (algebraicamente) linealmente independientes en el espacio $\ell^2$ de secuencias sumables al cuadrado.

Dejemos que $(r_n:n\in\mathbb N)$ sea una enumeración de los números racionales. Para $t\in\mathbb R$ y $n\in\mathbb N$ definir $\varepsilon(t,n)$ para ser $1$ si $r_n\lt t$ y $0$ de lo contrario. Por último, dejemos que $x_t=\langle\dfrac{\varepsilon(t,n)}n:n\in\mathbb N\rangle\in\ell^2$ . Es fácil ver que todo subconjunto finito de $\{x_t:t\in\mathbb R\}$ es linealmente independiente.