Me pregunto cómo el concepto de convolución puede ser extendido a 2D. Como ejemplo, tomemos una función constante $z=f(x,y)=1$ con apoyo en $[0..1]^2 \in \mathbb{R}^2$ (ver Fig. 1).
Si ahora nos contortos $f$ con el mismo (ver Fig. 2), en la dirección $(1,1)^T$, se debe terminar con una lineal hexagonal sombrero de función (ver Fig. 3), que tiene el valor de $z=1$ en el centro.
Hay al menos dos maneras de calcular el resultado de la función/superficie, pero para ambos de estos métodos no estoy completamente seguro de cómo aplicarlos.
La integración, como convoluting dos univariado de las funciones de $f(t)$$g(t)$: $$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) \; d \tau$$ Sin embargo, en el caso bivariante supongo que debe utilizar una integral doble, ya que estamos convoluting superficies de ahora, no curvas. Además, tenemos que tener en cuenta la dirección en la que nos contortos, que en este ejemplo es $(1,1)^T$.
La transformación de Fourier. Desde la convolución se reduce a la multiplicación en el dominio de la frecuencia, esto parece un método útil. Supongamos que queremos saber la transformada de Fourier $\hat{f}$$f(x,y)$, ¿cómo debemos involucrar a la dirección?
Espero que alguien pueda demostrar que uno o ambos de estos métodos, usando el ejemplo anterior. Las referencias a bivariante de convolución, preferiblemente con ejemplos, por supuesto, también son bienvenidos!
[Edit]: Ok, mediante la expresión $$(f*g)(x,y) = \int f(x',y')g(x-x',y-y')dx'dy'$$ Termino con valores diferentes de lo esperado. Por ejemplo, en $(.5,.5)$ el valor calculado es $.25$, en lugar de la esperada $.5$.
Sólo para estar seguro, la convolución de la unidad de cuadrado (es decir, un valor constante $z=1$$[0..1]^2 \in \mathbb{R}^2$) en la dirección $(1,1)^T$, resultado en el hexagonal sombrero función, ¿correcto?
Además, en lugar de la función $y$, tengo la función de $xy$ para la parte verde de la resultante de la función. ¿Cómo acabar con $y$?
