¿Cómo probar esta función específica se limitan ya sea 0 o $\infty$?

Question

Si $f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ y para todos los $y>0$, los asimientos de la siguiente ecuación (es decir, es poco a poco variando fuction.) $$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(xy)}{f(x)}=1$ $

¿Cómo probar lo siguiente? $$\lim_{x\to +\infty} x^\rho f(x) = \begin{cases}0 & \rho0\end{cases}$$

Observe que $f$ no es necesariamente continua. Este problema parece simple pero no puedo solucionarlo.

Answer 1

Una buena manera de solucionar este problema es utilizar el Heine definición de límite: $$\lim_{x \to \infty }f(x)=L $$ iff todos secuencia de $x_n$ convergentes a $\infty$ la secuencia de $f(x_n)$ convegerse a $L$. Ahora si $f$ es acotada, entonces es fácil. Supongamos $f$ es no acotada. $f$ convergerán a $\infty$ más vamos a tener una larga converge hacia un límite real. todos los mulipieceis de que la secuencia también convergen al mismo límite: $$lim_{n \to \infty}\frac{f(x_n y)}{f(x_n)}=1$$ Esto significa que cada secuencia converge a este límite real porque si $h_i$ es una secuencia, a continuación, $x_i \cdot \frac{h_{i'}}{x_{i'}}$ convergen al mismo límite para todas las $i' \in \mathbb{N}$. Esto lleva a una contradicción, por lo $f$ tiene que convergen a $\infty$.
Si $\rho >0$ es fácil. Ahora vamos a comprobar qué ocurre si $\rho <0$. Tendremos: $$lim_{n \to \infty}\frac{(x_n y)^{\rho}f(x_n y)}{x_n^{\rho}f(x_n)}=y^{\rho}<1$$ para $y> 1$ por delmabart prueba: $$\sum_{n=0}^{\infty}(xy^{n})^{\rho}f(xy^{n})$$ converges for all $x>0$ and $y>1$ y sabemos que: $$\lim_{n \to \infty}(xy^n)^{\rho}f(xy^n)=0$$ Es a la izquierda para mostrar que esto implica que para que un general de la serie tenemos: $$\lim_{n \to \infty}x_n^{\rho}f(x_n)=0$$