¿Cuando es $1+x+x^2+x^3+...$ y ${1 \over 1-x} \quad (x \ne 1)$ * no * intercambiables en una fórmula algebraica?

Question

[actualización 3]: Esta pregunta fue declarado de una premisa errónea ("...falla obviamente...") que fui consciente de que después de los comentarios y respuestas, y por eso tienden a retraerse. Pero no son los constructivo respuestas, sheding luz sobre esto, así que creo que es mejor de mantener la cuestión, junto con las respuestas vivo

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Esto es meramente accidental pregunta, para mejorar mi comprensión del concepto de la divergencia de la recapitulación.

Estoy casi completamente utilizada para la assumtion, que $\sum_{k=0}^\infty x^k = {1 \over 1-x}$ por la continuación analítica puede ser insertado en cualquier fórmula (salvo, naturalmente,$x \ne 1$) - tal vez estoy por decir que es experimentado por pura práctica. Por otro lado, creo recordar haber leído en Konrad Knopp del libro, que divergentes suma en el caso de la serie geométrica puede ser insertado en cada expresión analítica (voy a revisar esto posiblemente falsa memoria cuando he Knopp del libro de nuevo disponible).

Pero aquí es un ejemplo, donde la identidad falla obviamente:
$$e^{-1-2-4-8-16- \cdots }={1 \over e^1}{1 \over e^2}{1 \over e^4} \cdots \ne e^1$$

¿Cómo puedo caracterizar el rango de operaciones algebraicas, donde tal (incluso mucho estándar) continuación analítica es aplicable y dónde no? (Otros ejemplos podrían ser la inserción de $\zeta$-valores en los argumentos negativos en el lugar de su suma/producto-representaciones en fórmulas algebraicas)

[comentario en la actualización 3]: continuación analítica las necesidades de algunos de parámetro variable con un valor posible para el que la expresión es true/convergente. Se procede en que ese parámetro se cambia la medida de la expresión analítica y convergente - y, a continuación, continuación analítica es probado por la continuación de las operaciones de cambio de coordenadas y cambio de rango para el parámetro. En la fórmula anterior variable de este parámetro debe ser incluido, dicen que el parámetro base para la serie geométrica debe mantenerse variable y para ello la continuación analítica debe entonces ser tratado. Este es amablemente se refleja en R. Israels respuesta

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[actualización 2]: voy a añadir un poco de contexto para esta pregunta de mi comentario a R. Israels la respuesta. Se debe arrojar mucha más luz sobre la intención de mi pregunta:
Mi pregunta surgió cuando hoy me re-leer una discusión anterior de la mina en el tetration-foro, donde no he encontrado una respuesta, ni siquiera una dirección adecuada para una respuesta (para mi nivel de comprensión en ese momento) Aquí está el enlace a la discusión donde me había planteado esto en el contexto de la iteración de la serie y ya había aterrizado en el ejemplo de mi pregunta: http://math.eretrandre.org/tetrationforum/showthread.php?tid=420 .

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[actualización]:
He hecho una vista rápida en el capítulo "divergentes de la serie" en Knopp de la monografía (en idioma alemán). Veo al menos una formulación que podría haber overgeneralized y no se toma con precisión suficiente. Voy a parafrasear aquí para mostrar la raíz de mi preocupación:

(cap XIII, par. 261.) (...) "de manera razonable" - esto también podría ser interpretado, que se asigna la secuencia (s_n), de tal forma que un valor de s, que, siempre que esta secuencia aparece en una fórmula, como resultado de un cálculo, se debe asignar el valor de s siempre o al menos en general, para que el resultado(...) (par 262.) (...) Si ahora, dondequiera que esta serie $\sum (-1)^n$ se produce como resultado de un cálculo, se debe asignar el valor de $\frac 12$ - esto no puede ser decidido sin más consideración. Con la representación de ${1 \over 1-x} = \sum x^n$ $x=-1$ sin embargo, este es sin duda el caso. (...)

Parece que me lo tomé observaciones demasiado amplia, cuando he estudiado este capítulo, y demasiado unsensitive en contra de la serie geométrica $\sum 2^k$ y sus familiares... posiblemente yo debería ser más importancia hoy en día, incluso a Knopp de la formulación, que parece un poco demasiado vaga en la luz de mi preocupación hoy en día.

Answer 1

Considere la posibilidad de $f(z)=\dfrac{1}{1-z}$ como una función de una variable compleja. A continuación, $f$ es analítica cerca de $z\in\Bbb C$ a excepción de $z=1,$ donde dispone de un sencillo polo. La serie geométrica es la expansión de Taylor de $f$ $z=0,$ y el porque de la pole en $z=1,$ tiene radio de convergencia $1,$ lo que significa que $1+z+z^2+\cdots =\dfrac{1}{1-z}$ es válido para cualquier número complejo a $|z|<1.$ Para cualquier otro punto de $z_0$ en el plano complejo, se puede formar una expansión de Taylor $\sum_{n\ge 0}a_n(z-z_0)^n$ $f$ con radio de convergencia $R=|z_0-1|,$ pero no será verdad que $a_n=1$ todos los $n.$ La función de $f$ está todavía bien definido y analítica en $z_0$ sin embargo.

Answer 2

Usted no puede seguir analíticamente la suma en cuestión más allá del disco de la unidad, salvo que omite ${1}$, en que su continuación analítica no será válido en $x=1$. En su caso, cuando usted mira $e^{-1-2-4\ldots}$ de hecho debe obtener 0 como plantea usted una exponencial hasta el infinito negativo.

Answer 3

No sé cuál es tu criterio para la validez de la inserción. Vamos a decir $f$ es una analítica de la función en un dominio $D$, y la serie de $\sum_j g_j$ converge para $z$ en un dominio $W$ a una función $g$ que tiene una continuación analítica a un mayor dominio de $U$,$g(U) \subseteq D$. A continuación, $f(\sum_j g_j(z))$ $z \in W$ tiene una continuación analítica a$f(g(z))$$U$. Es que lo que estás pensando? En tu ejemplo, con $f(z) = \exp(-z)$ y el de la serie $\sum_{j=0}^\infty z^j$, $g(z) = 1/(1-z)$, es verdad que a la $$\exp\left(-\sum_{j=0}^\infty z^j\right) = \prod_{j=0}^\infty e^{-z^j}$$ has an analytic continuation to $\exp(-1/(1-z))$ on ${\mathbb C} \barra invertida \{1\}$, with value $e$ at $z = 2$. Sin embargo, me gustaría evitar escribir esto como $$\prod_{j=0}^\infty e^{-2^j} = e$$

EDIT: tenga en cuenta también que es posible tener $f(\sum_{j=1}^N c_j z^j)$ converge uniformemente en compactos de subconjuntos de dominio $A$ a una analítica de la función $g(z)$ y uniformemente en compactos de subconjuntos de dominio $B$ a un análisis distintos, en función de $h(z)$ donde $g(z)$ $h(z)$ no son de la analítica de las continuaciones de cada uno de los otros. Esto ocurrirá si $\sum_j c_j z^j$ tiene un número finito distinto de cero radio de convergencia y $f$ es analítica en un barrio de $\infty$ y también analítica (y no constante) en un barrio de $c_0$. Por ejemplo, con $f(z) = z/(1+z)$ $\sum_{j=0}^\infty z^j$ hemos

$$\eqalign{\dfrac{\sum_{j=0}^N z^j}{1 + \sum_{j=0}^N z^j} &= \dfrac{z^{N+1}-1}{z^{N+1}-z+2}\cr &\1 \ \text{para } |z| > 1\cr & \a \dfrac{1}{2-z} \ \text{para } |z| < 1\cr}$$