Caracteres de una extensión cuadrática y convergencia

Question

(Sigo esta pregunta de MO, ya que parece que no recibe ningún interés real allí)

Dejemos que $F$ sea un campo local no arquimédico y $E$ una extensión cuadrática en $F$ , $\chi$ un cuasi personaje de $E^\star$ y $\psi$ un carácter positivo de $E^\star$ . Me gustaría entender por qué convergen las integrales zeta habituales de Rankin-Selberg, y esta cuestión se reduce a la convergencia de

$$\int_{E^\star} \chi(a) \psi(a) |a|^s d^\times a$$

esta convergencia parece ser cierta en un medio plano $Re(s)>s_0$ para algunos $s_0 \in \mathbb{R}$ , dependiendo sólo de $\chi$ y $\psi$ .

¿Por qué es cierto? ¿Qué sabemos de los personajes de $E^\star$ para poder concluir eso directamente? ¿Y por qué, cuando converge, esta integral da un polinomio en $q^{—s}$ donde $q$ es la cardinalidad del campo de residuos?

Answer 1

En primer lugar, el hecho de que $E$ es una extensión cuadrática de $F$ es una pista falsa; es completamente irrelevante.

Entonces, ¿por qué converge esta integral? Bien, podemos escribir \E^{\times} = \left\{{varpi_E^k x \colon k \en \mathbb{Z}, \, x \en \mathcal{O}_E^{\times}\right\},\] donde $\varpi_E$ es un uniformisador para $E$ satisfaciendo $\varpi_E \mathcal{O}_E = \mathfrak{p}$ el ideal primo de $\mathcal{O}_E$ y $|\varpi_E|_E^{-1} = q = \# \mathcal{O}_E / \mathfrak{p}$ la cardinalidad del campo de residuos.

De ello se desprende que \N-int_{E^{tiempos} \chi(a) \psi(a) |a|_E^s \, d^{\times} a = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{\varpi_E^k \mathcal{O}_E^{\times}} \chi(a) \psi(a) |a|_E^s \, d^{\times} a = \sum_{k=-\infty}^{\infty} q^{-ks} \int_{\varpi_E^k \mathcal{O}_E^{\times}} \chi(a) \psi(a) \, d^{\times} a,\\\\N-] como $|a|_E = q^{-k}$ para $a \in \varpi_E^k \mathcal{O}_E^{\times}$ .

Si $\chi$ no está ramificado, por lo que $\chi(\varpi_E^k x) = \chi(\varpi_E)^k$ para $x \in \mathcal{O}_E^{\times}$ entonces la integral interna es igual a \N-[\chi(\varpi_E)^k q^k \left(\int_{varpi_E^k \mathcal{O}_E} \psi(a) \\N, da - \int_{varpi_E^{k + 1} \mathcal{O}_E} \psi(a) \, da\right)\N-] como $d^{\times} a = \frac{da}{|a|_E}$ y $\varpi_E^k \mathcal{O}_E^{\times} = \varpi_E^k \mathcal{O}_E \setminus \varpi_E^{k + 1} \mathcal{O}_E$ . La primera integral desaparece a menos que $k \geq c(\psi)$ , donde $c(\psi)$ denota el exponente conductor de $\psi$ , en cuyo caso $\psi$ es trivial en $\varpi_E^k \mathcal{O}_E$ por lo que la integral es igual a $q^{-k}$ (que es el volumen de este espacio con respecto a esta medida); igualmente con la segunda integral que desaparece a menos que $k + 1 \geq c(\psi)$ en cuyo caso la integral es igual a $q^{-k - 1}$ . Así que todo el asunto es igual a $\chi(\varpi_E)^k (1 - q^{-1})$ si $k \geq c(\psi)$ , $-\chi(\varpi_E)^k q^{-1}$ si $k = c(\psi) - 1$ y $0$ si $k \leq c(\psi) - 2$ .

Así que cuando $\chi$ no está ramificada, la integral es igual a \[- \chi(\varpi_E)^{c(\psi) - 1} q^{-(c(\psi) - 1)s - 1} + (1 - q^{-1}) \{sum_{k = c(\psi)}^{infty} \chi(\varpi_E)^k q^{-ks}.\N-[\N-] Esta serie geométrica converge si y sólo si $|\chi(\varpi_E) q^{-s}| < 1$ es decir, si $\Re(s) > \log |\chi(\varpi_E)|$ en cuyo caso es igual a \frac{\chi(\varpi_E)^{c(\psi)} q^{-c(\psi)s}{1 - \chi(\varpi_E) q^{-s},\] y la expresión completa se simplifica a \[\chi(\varpi_E)^{c(\psi)} q^{-c(\psi)s} \frac{1 - \chi(\varpi_E)^{-1} q^{-(1 - s)}{1 - \chi(\varpi_E) q^{-s}}.\]

Por último, afirmamos que si $\chi$ está ramificado, entonces $\int_{\varpi_E^k \mathcal{O}_E^{\times}} \chi(a) \psi(a) \, d^{\times} a$ desaparece para todos los valores de $k$ . Una prueba se da en el Lemma 1.1.1 de este documento de Ralf Schmidt . A partir de esto, vemos que esta integral es igual a un monomio, por lo que converge para todo $s \in \mathbb{C}$ .