Mostrar la convergencia/divergencia $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(\ln n)}^{2}}{{n}^{2}} $

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(\ln n)}^{2}}{{n}^{2}} $$

¿Alguien puede dar sugerencia para esto?

¡Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que $1+x\le e^x$ todos los $x\in\mathbb{R}$. Así, por $x\gt0$, $$ 1+\tfrac14\log(x)=1+\log\left(x^{1/4}\right)\le x^{1/4} $$ Por lo tanto, $$ \log(x)\le4x^{1/4} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{\log(n)^2}{n^2} &\le\sum_{n=1}^\infty\frac{16n^{1/2}}{n^2}\\ &=16\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{3/2}}\\ \end{align} $$ que converge en comparación a la $p$-de la serie donde $p=\frac32\gt1$.

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El uso de la de Euler-Maclaurin Fórmula de la Suma, podemos calcular $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\log(n)^2}{n^2} \doteq1.98928023429890102342085868988 $$

Answer 2

Sugerencia: Pruebe con Teorema de condensación de Cauchy; Obtendrá una serie de la forma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{2^{n\beta}}. $$ Ahora, esta serie converge para cualquier $\beta>0$.

Answer 3

Hit: Compara la suma a la integral $$\int \frac{\ln(x)^2}{x^2}dx=C-\frac{(\ln x)^2+2 \ln(x)+2}{x}$ $ cual tiende a una constante $C$ $x$ tiende al infinito. (Por supuesto, $C$ no es el límite de la suma). Le permiten construir la respuesta completa.

Únicamente para información: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(\ln n)}^{2}}{{n}^{2}}=\zeta''(2) $, el segundo derivado de la función zeta de Riemann. Esto no es necesario para conocerse, para responder a la pregunta.

Answer 4

Con análisis asintótico:

Es fácil de comprobar: $$\frac{\log^2 n}{n^2}=o\biggl(\frac1{n^{3/2}}\biggr)$ $ por lo tanto converge.

De hecho poco-oh afirmación significa que $$n^{3/2}\frac{\log^2 n}{n^2}=\frac{\log^2x}{n^{1/2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$ $

Nota: Esta serie no es sino un caso particular de una serie de Bertrand : $\,u_n=\dfrac1{n^{\alpha}\log^{\beta}n}\enspace\alpha,\beta\in\mathbf R$, hich converge si $\alpha>1$ o if ($\alpha=1$ $\beta>1$).

Answer 5

Supongo que es nada emocionante como otras respuestas, pero puesto que $\frac{\log^2 x}{x^2}$ es monotono disminución $x>1$, usted puede comparar a la integral \lim{n \to \infty $$} \int{1}^{n}\frac{\log ^ 2 x dx} {x ^ 2} $ y IBP dos veces, ambas veces con $\int f' = \int \frac{dx}{x^2}$.