Sé que si$W$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces para cualquier subespacio$V$,$(V^{\perp})^{\perp} = V$. Pero he escuchado que esto no es cierto para espacios vectoriales de dimensiones infinitas. Así que traté de construir un contraejemplo pero no pude obtener ninguno. Probé el espacio vectorial formado por infinitas tuplas, pero cualquier subespacio que tomé fue satisfactorio$(V^{\perp})^{\perp} = V$. Entonces, si alguien pudiera dar un ejemplo contrario, sería genial. Gracias.
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En un espacio de Hilbert,$A^{\perp\perp}=\overline{L(A)}$ (= el subespacio cerrado más pequeño que contiene$A$) para cualquier conjunto$A$. Por lo tanto, los contraejemplos son exactamente los subespacios$V$ que no están cerrados.
Para un ejemplo concreto, puede tomar$H=\ell^2$ y$V$ como secuencias finitas. Entonces es fácil ver directamente que$V^{\perp}=\{0\}$, entonces$V^{\perp\perp}=\ell^2$.
Michael Hardy
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El espacio de polinomios trigonométricos es un ejemplo. Una función de la forma $$ x\mapsto\sum_{n=-N}^N c_n e^{inx} $$ es un trigonométricas polinomio. Con el producto interior $$ \langle f, g \rangle = \int_0^{2\pi} f(x) \overline{g(x)}\,dx, $$ (donde $\overline{g(x)}$ es el conjugado complejo de $g(x)$) el dual del dual de un espacio de polinomios trigonométricos es el espacio de cuadráticamente funciones integrables, es decir, las funciones de $f$ satisfactorio $$ \int_0^{2\pi} f(x) \overline{f(x)}\,dx <\infty. $$ El espacio que contiene todos los trigonométricas polinomio, pero también contiene cada función que se puede aproximar arbitrariamente cerca por trigonométricas polinomios, donde la cercanía de aproximación se mide por la proximidad en la métrica definida por el interior de este producto.
