¿Qué son el área de un triángulo con longitudes de lado $\tan(x)$, $\cos(x)$ y $\sin(x)$?

Question

Considere la posibilidad de un nondegenerated triángulo rectángulo con lados de longitud $\sin x$, $\cos x$, y $\tan x$ donde $x$ es un número real. Calcular los valores posibles para el área de este triángulo.

• Yo estaba pensando más en la línea de la fórmula de Heron, pero que fue muy desagradable, de hecho, más bien he tratado de averiguar cuáles son las longitudes de un triángulo y yo hemos hecho el teorema de Pitágoras, que fue en vano.

• Otra cosa que he hecho fue a la gráfica de los tres y a ver cuál era el más grande en el valor de y, pero resultó que a veces un gráfico es más grande que el otro y otras veces no.

• Y otra cosa que he hecho fue a plug y marchan en valores tales como el número 3 en todas las funciones trigonométricas y hacer teorema de Pitágoras para ver si respondía a él, pero ninguno de ellos no

La razón por la que he hecho esos pasos fue así que puedo multiplicar las piernas y dividir por dos para hallar el área del triángulo, pero para hacer eso tengo que saber lo que son las piernas.

Me preguntaba si hay alguna otra manera?

Answer 1

Te dicen que es un derecho del triángulo.

El área del triángulo rectángulo está dada por $A = \frac 12 ab$ donde $a$ $b$ son los catheti (perpendicular lados).

Ya que la expresión es conmutativa, sólo es necesario considerar los casos de $(a,b) = (\sin x, \cos x); (\sin x, \tan x); (\cos x, \tan x)$. Usted puede utilizar el teorema de Pitágoras para resolver estos (sabiendo que la hipotenusa es el resto de razón trigonométrica en cada caso). Uno de los casos no da soluciones reales para $x$, los otros dos dan soluciones válidas. Ahora usted debe ser capaz de trabajar los posibles expresiones para el área.

Answer 2

Desde $\sin x$, $\cos x$ y $\tan x$ son todas positivas, suponemos que $\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. Por lo tanto, $\tan x>\sin x$.

Si $\cos x>\tan x$, entonces el $\cos x$ es la hipotenusa y

\begin{align} \sin^2x+\tan^2x&=\cos^2x\ \sin^2x(\cos^2x+1)&=\cos^4x\ 1-\cos^4x&=\cos^4x\ \cos x&=\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \end {Alinee el}

El área del triángulo es

\begin{align} \frac{1}{2}\sin x\tan x&=\frac{\sin^2 x}{2\cos x}\ &=\frac{1-\cos^2 x}{2\cos x}\ &=\frac{\displaystyle1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\displaystyle\frac{2}{\sqrt[4]{2}}}\ &=\frac{\sqrt[4]{2}(2-\sqrt{2})}{4}\ \end {Alinee el}

Si $\tan x>\cos x$, entonces el $\tan x$ es la hipotenusa y

\begin{align} \sin^2x+\cos^2x&=\tan^2x\ x&=\frac{\pi}{4} \end {Alinee el}

El área del triángulo es

$$\frac{1}{2}\sin x\cos x=\frac{1}{4}$$

Answer 3

tan (x) = +1 o -1 por lo tanto A = (L.W) / 2 = [cos (x) pecado (x)] / 2 = +1/4 o -1/4 depende de cómo se orienta el vector de la unidad.