Tengo que probar el siguiente
TEOREMA Deje $f:[a,b]\to\Bbb R$ ser tal que $\lim\limits_{y\to x}f(y)$ existe para cada $x\in[a,b]$. Entonces el conjunto $\Delta\subset[a,b]$ donde $f$ es discontinuo es contable.
Primero
La PROPOSICIÓN Deje $f:[a,b]\to\Bbb R$ ser tal que $\lim\limits_{y\to x}f(y)$ existe para cada $x\in[a,b]$. Definir $g:[a,b]\to\Bbb R$ $$g(x)=\lim_{y\to x}f(y)$$ Then $g$ es continua.
PRUEBA
Deje $\alpha\in[a,b]$. A continuación,$g(\alpha)=\lim_{y\to\alpha}f(y)$. Así, por $\epsilon >0$ dado que existe un $\delta>0$ tal que $0<|y-\alpha|<\delta$ implica $|g(\alpha)-f(y)|<\epsilon/2$. Esto es $g(\alpha)-\epsilon/2<f(y)<g(\alpha)+\epsilon/2$. Deje $x$ tal que $0<|x-\alpha|<\delta$. Entonces
$$g(\alpha)-\epsilon/2\leq \lim_{y\to x}f(y)\leq g(\alpha)+\epsilon/2$$
Pero esto significa $|g(x)-g(\alpha)|\leq \epsilon/2<\epsilon$.$\;\blacktriangle$
Ahora podemos pasar:
La PRUEBA Deje $\epsilon >0$ y considerar el conjunto $$\Lambda(\epsilon)=\left\{x\in[a,b]:\left|\lim\limits_{y\to x}f(y)-f(x)\right|>\epsilon\right\}$$
El reclamo es que el $\Lambda(\epsilon)$ es finito para cada elección de $\epsilon$. En efecto, supongamos $\Lambda(\epsilon)\subset[a,b]$ no finita. Entonces, se tiene un punto de acumulación, $\lambda$,$[a,b]$. Por hipótesis de $\lim\limits_{y\to \lambda}f(y)$ existe. Por lo tanto para esta $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que $$\tag 1 \left|f(y)-\lim_{x\to \lambda}f(x)\right|<\epsilon /2$$ siempre que $0<|y-\lambda |<\delta$. Desde $\lambda$ es un punto de acumulación, para cada una de las $\delta >0$ existe un $w\in\Lambda(\epsilon)$ tal que $0<|w-\lambda|<\delta$ y
$$\tag 2 \left|f(w)-\lim_{x\to w}f(x)\right|>\epsilon$$
Y porque de la proposición anterior, para esta $\epsilon>0$ existe $\delta' >0$ tal que para cada una de las $y$ $0<|y-\lambda|<\delta'$ hemos
$$\tag 3 \left|\lim_{x\to y}f(x)-\lim_{x\to \lambda}f(x)\right|<\epsilon/2$$
Deje $\delta''=\min(\delta,\delta')$. De este modo, obtener de $(1)$,$(2)$ y $(3)$ $w\in \Lambda(\epsilon)$ tal que $0<|w-\lambda|<\delta''$ con
$$ \left|f(w)-\lim_{x\to \lambda}f(x)\right|<\epsilon /2$$
$$ \left|f(w)-\lim_{x\to w}f(x)\right|>\epsilon$$
$$ \left|\lim_{x\to w}f(x)-\lim_{x\to \lambda}f(x)\right|<\epsilon/2$$
que, por el triángulo inequiality, es absurdo. A continuación, $\Lambda(\epsilon)$ es finito para cada una de las $\epsilon>0$. En particular, para cada $n\in\Bbb N$, $\Lambda(1/n)$ es finito. Pero
$$\bigcup_{n\in\Bbb N}\Lambda(1/n)=\Delta$$ which is the countable union of finite sets, whence, it is at most countable.$\; \blacktriangle$
AÑADIR que no puedo entender Spivak es prueba de ello. Él se considera a $[0,1]$ en su ejercicio (se me había olvidado)
Si el conjunto de $a$ era infinito, habría una acumulación punto en $[0,1]$. Llamarlo $x$. Para cada $\delta >0$ no sería una $a$ tal que $0<|x-a|<\delta/2$ y $$\tag 1 \lim_{y\to a}f(y)-f(a)|>\epsilon$$ Thus, there would exist an $un'$ such that $|a'-a|<\delta/2$ (from where $0<|x-a'|<\delta$) such that $$\tag 2 |f(a')-f(a)|>\epsilon$$ But since $\ell=\lim\limits_{y\a x }f(y)$ for some $\ell$, there exists a $\delta >0$ such that $$|f(y)-\ell|<\epsilon/2$$ whenever $0<|y-x|<\delta$. In particular, if $0<|x-a|<\delta$ and $0<|x-a'|<\delta$ then $\epsilon < |f(a')-f(a)|<|f(a')-\ell|+|f(a)-\ell|<\epsilon$ lo cual es absurdo.
Mi pregunta es: ¿de dónde obtuvo $$\epsilon < |f(a')-f(a)|$$?
