$r^3-7r+1=0$ por qué no puede ser racional $r$

Question

En la siguiente ecuación:

$r^3-7r+1=0$

¿por qué $r$ no puede ser racional?

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Hasta ahora mis consideraciones son las siguientes.

Supongo que $r$ es racional. Así se pueden presentar en el % de forma $r=\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son números enteros y primer Co, $q\neq0$.

$\frac{p^3}{q^3}-7\frac pq+1=0 | \times q^3 \iff p^3 - 7pq^2 + q^3 = 0 \iff p^3 + q^3 = 7pq^2$.

Pero en este nivel quedé atrapado en la búsqueda de la contradicción. Cualquier sugerencia se agradece. ¡Gracias!

Answer 1

Debemos reorganizar su ecuación de una manera diferente.

Primero, $p^3=7pq^2-q^3=q(7pq-q^2)$. Ahora, ya que la derecha es un múltiplo de $q$, tenemos $q|p^3$ y $p$ y $q$ son (por supuesto) relativamente privilegiadas. Por lo tanto, si había una solución, $q=\pm 1$.

Ahora aplica un razonamiento similar a $q^3=7pq^2-p^3=p(7q^2-p^2)$.

Esto le da una lista corta de candidatos $p$ y $q$, por lo tanto para $r$. ¿Alguna de ellas trabajan?

Answer 2

Ya es naturalmente impuestas que $q \neq 0$. Tenga en cuenta que $p \neq 0$; Si de lo contrario entonces $0 = 1$. Tenga en cuenta que $p^{3}+q^{3} = 7pq^{2}$ implica que divide a que $q$ $p^{3}$. Si divide a $q = \pm 1$, entonces el $p^{3} \pm 1 = 7p$, que $p$ $\pm 1$, por lo tanto, $p=\pm 1$, pero entonces $0, 2= \pm 7$, una contradicción. Así que Supongamos que $p, q \neq \pm 1$. Todavía sostiene que divide a que $q$ $p^{3}$, que otra vez es imposible como $p,q$ coprimos.

Answer 3

El polinomio $r^3-7r+1$ es irreducible en $\mathbb{F}_2$, por lo tanto es irreducible en $\mathbb{Q}$.
En particular no tiene ninguna raíz racional.

Answer 4

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{p^{3} + q^{3} = 7pq^{2}\,,\qquad\mbox{LHS} = p^{3} + q^{3}\,,\quad\mbox{RHS} = 7pq^{2}}$.

\begin{align} \pars{p\ odd,q\ odd} & \implies \pars{\mbox{LHS},\mbox{RHS}} = \pars{even,odd} \\[1mm] \pars{p\ odd,q\ even} & \implies \pars{\mbox{LHS},\mbox{RHS}} = \pars{odd,even} \\[1mm] \pars{p\ even,q\ odd} & \implies \pars{\mbox{LHS},\mbox{RHS}} = \pars{odd,even} \\[1mm]\require{cancel} \cancel{\pars{p\ even,q\ even}} & \implies \cancel{\pars{\mbox{LHS},\mbox{RHS}}} = \cancel{\pars{even,even}}:\ p\ \mbox{and}\ q\ \mbox{have common factors.} \end{align}

Answer 5

Sugerencia (otra forma):

Todas las soluciones racionales de la ecuación deben satisfacer:$q$ divide el coeficiente principal (en este caso$1$) y$p$ divide el término constante (en este caso$1$).

$p\over q$ debe estar en los términos más bajos.

Tienes un puñado de casos para verificar.