Fila de la matriz del bloque $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{F}_p$.

Question

Deje $M=\left[\begin{array}{c} A \\ B \end{array}\right]$ ser un bloque de la matriz con el entero de las entradas. Deje $p$ ser una de las primeras, y deje $\mathbb{F}_p$ a ser el campo con $p$ elementos. Definir $A_p, B_p,$ $M_p$ ser las matrices $A, B,$ $M$ con entradas reducidas $\mod p$ respectivamente (considerado como matrices con entradas en $\mathbb{F}_p$). Deje $\mathbb{Q}$ a ser el campo de los números racionales.

Supongamos que el rango de $A$ $\mathbb{Q}$ es el mismo que el rango de $A_p$$\mathbb{F}_p$, y que el rango de $B$ $\mathbb{Q}$ es el mismo que el rango de $B_p$$\mathbb{F}_p$. Es cierto que el rango de $M$ $\mathbb{Q}$ es el mismo que el rango de $M_p$$\mathbb{F}_p$? Si es falso, ¿cómo se podría ir sobre la producción de un contraejemplo?

Answer 1

No esto no es cierto. Un contraejemplo es

$A= (2 \ 1)$ y $B=(4 \ 1)$ $p=2$.

El rango de %#% es igual a $A$ $B$ y %#% y $1$ $\mathbb Q$. Sin embargo el rango de $\mathbb F_2$ $M$ es igual a $\mathbb Q$ y $2$ $1$.