Motivaciones del estudio $C^r$ colectores cuando $r<\infty$

Question

Me parece que más diferencial geómetras o topólogos sólo se preocupan colectores, los colectores que son infinitamente diferenciables. ¿Mis preguntas es, hace el estudio de las variedades de $C^r$ $r

Answer 1

Voy tienden a argumentar que el estudio de la $C^r$-colectores con $1\leqslant r<+\infty$ es innecesario debido a que el resultado siguiente:

Teorema. Deje $k<k'\leqslant+\infty$, $C^k$- colector es $C^k$-diffeomorphic a un $C^{k'}$-colector y si dos $C^{k'}$-colectores se $C^k$-diffeomorphic, se $C^{k'}$-diffeomorphic.

Prueba. Consulte el capítulo $2$ de la Topología Diferencial por Morris Hirsch. $\square$

Este resultado significa que la clasificación de $C^k$-colectores o $C^{\infty}$-colectores son los mismos, estas nociones son indistinguibles de la topológico punto de vista.

Sin embargo, algunos problemas dinámicos que involucran iteración de $C^k$-mapas o $C^k$-foliaciones con $k<+\infty$ son significativos, véase por ejemplo el capítulo $3$ de los Métodos Geométricos en la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por Vladimir Arnol d o el libro Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos por Anatole Katok y Boris Hasselblatt.